Lineare Regression von Hand: Steigung und Achsenabschnitt für Werbeausgaben/Umsatz

Die Kleinste-Quadrate-Schätzer sind eigentlich gut machbar, wenn du es als Tabelle aufbaust. Du brauchst die Mittelwerte und die Abweichungsprodukte.

1. Mittelwerte: x̄ = 15/5 = 3, ȳ = 29/5 = 5,8
2. Steigung b = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / Σ(xi − x̄)²
3. Zähler: (−2)(−2,8)+(−1)(−1,8)+0·0,2+1·1,2+2·3,2 = 5,6+1,8+0+1,2+6,4 = 15
4. Nenner: 4+1+0+1+4 = 10
5. b = 15/10 = 1,5
6. Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄ = 5,8 − 1,5·3 = 1,3

Die Gerade lautet also y = 1,3 + 1,5·x. Interpretation: Pro zusätzlichen 1000 € Werbung steigt der Umsatz im Schnitt um 1500 €.

Schöne Herleitung von Lisa. Wenn du noch die Güte beurteilen sollst, berechne das Bestimmtheitsmaß R² über den Korrelationskoeffizienten r.

1. r = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / √(Σ(xi − x̄)² · Σ(yi − ȳ)²)
2. Σ(yi − ȳ)² = 2,8²+1,8²+0,2²+1,2²+3,2² = 7,84+3,24+0,04+1,44+10,24 = 22,8
3. r = 15 / √(10 · 22,8) = 15 / √228 = 15 / 15,1 ≈ 0,993
4. R² = r² ≈ 0,986

Das heißt rund 98,6 % der Streuung des Umsatzes werden durch die Werbeausgaben erklärt – ein sehr starker linearer Zusammenhang.

Nur ein Hinweis zur Sicherheit beim Rechnen: Verwechsle nicht b = s_xy / s_x² mit r. Beide nutzen denselben Zähler, aber der Nenner ist unterschiedlich.

• Steigung b: Nenner ist nur die Streuung von x (Σ(xi − x̄)²)
• Korrelation r: Nenner ist die Wurzel aus dem Produkt beider Streuungen

Deshalb ist b nicht auf [−1, 1] begrenzt, r dagegen schon. Das wird in Klausuren gern verwechselt.