Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten – Einsetzen, Gleichsetzen oder Additionsverfahren?

Die Entscheidungsregel ist tatsächlich kurz – du schaust dir nur an, wie das System dasteht:

• Einsetzungsverfahren, wenn irgendwo schon eine Variable allein steht oder mit einem Handgriff allein steht (z = 12, y = 3x − 5). Dann diese Gleichung in die anderen einsetzen.
• Gleichsetzungsverfahren, wenn zwei Gleichungen bereits nach derselben Variablen aufgelöst sind. Praktisch selten, kommt fast nur bei Angebots- und Nachfragefunktionen vor.
• Additionsverfahren (= Gauß) in allen übrigen Fällen – und bei drei Unbekannten praktisch immer. Es ist das einzige Verfahren mit einem festen Schema, das nicht von der zufälligen Form der Aufgabe abhängt.

Das Schema besteht aus zwei Phasen: erst systematisch Variablen eliminieren, bis eine Stufenform dasteht, dann von unten nach oben zurückrechnen. Wichtig ist die Reihenfolge: Du eliminierst dieselbe Variable zuerst aus allen übrigen Gleichungen, bevor du zur nächsten übergehst. Genau da geht sonst der Überblick verloren.

An einem Beispiel:

• (I) x + y + z = 100
• (II) 2x + 3y + z = 230
• (III) x + 2y + 3z = 220

Schritt 1 – x aus (II) und (III) entfernen, jeweils mit (I) als Werkzeug:

• (II) − 2·(I): 2x + 3y + z − 2x − 2y − 2z = 230 − 200 → y − z = 30 (IV)
• (III) − (I): x + 2y + 3z − x − y − z = 220 − 100 → y + 2z = 120 (V)

Schritt 2 – y entfernen, mit (V) − (IV):

• y + 2z − y + z = 120 − 30 → 3z = 90 → z = 30

Schritt 3 – Rückwärtseinsetzen: aus (IV) y = 30 + z = 60, aus (I) x = 100 − 60 − 30 = 10.

Lösung: x = 10, y = 60, z = 30. Und jetzt der wichtigste Satz meines Beitrags: Mach die Probe in einer Gleichung, die du beim Auflösen nicht als Werkzeug benutzt hast – hier (III): 10 + 120 + 90 = 220 ✓. Eine Probe in (I) sagt fast nichts aus, weil du daraus zurückgerechnet hast; eine Probe in (III) würde einen Fehler aus Schritt 1 sofort auffliegen lassen.

Zwei Sonderfälle, nach denen im Aufgabenteil „Diskutieren Sie die Lösbarkeit“ gefragt wird – beide erkennst du an der letzten Zeile:

• Es bleibt 0 = c mit c ≠ 0 (z. B. 0 = 5) → keine Lösung, das System widerspricht sich.
• Es bleibt 0 = 0 → unendlich viele Lösungen, eine Gleichung war überflüssig. Die Lösung wird dann in Abhängigkeit eines frei wählbaren Parameters angegeben (z = t).
• In jeder Stufe genau eine Zahl → eindeutige Lösung.

Der Sachbezug rettet dich übrigens oft: Wenn bei Produktionsmengen ein negatives z herauskommt, hast du dich fast sicher verrechnet – oder das Modell ist unter den gegebenen Bedingungen nicht sinnvoll. Das gehört dann auch in einen Antwortsatz.

Zur Frage „wie schreibt man das auf, ohne den Überblick zu verlieren“ – das ist bei mir reine Formsache geworden, und die Form macht wirklich den Unterschied:

• Gleichungen durchnummerieren und jede neue Zeile beschriften, mit der Rechenoperation dahinter: „(IV) = (II) − 2·(I)“. Wenn hinten etwas nicht aufgeht, findest du den Fehler in 30 Sekunden, statt alles neu zu rechnen. Und für die Korrektur ist nachvollziehbar, was du wolltest – das ist bei Folgefehlern bares Geld, weil dann nur der eine Schritt abgezogen wird und nicht die ganze Aufgabe.
• Untereinander ausrichten, also x-Terme unter x-Terme, y unter y, eine fehlende Variable als Lücke offen lassen. Klingt nach Kleinkram, verhindert aber die Hälfte aller Vorzeichenfehler.
• Brüche vermeiden, solange es geht: lieber beide Gleichungen mit einer Zahl durchmultiplizieren, damit die Koeffizienten zueinander passen, als eine Gleichung durch 7 zu teilen. Eine komplette Zeile mit einer Zahl ≠ 0 zu multiplizieren ist erlaubt, ebenso das Vertauschen zweier Zeilen – beides ändert die Lösungsmenge nicht.
• Zeilentausch ist auch Strategie: Setz dir die Gleichung mit dem Koeffizienten 1 bei x nach oben und nutz sie als Arbeitsgleichung. Genau deshalb ist Marcos Beispiel so glatt aufgegangen.

Was mir bei uns im dualen Studium noch geholfen hat: Der schwierigste Teil ist meistens gar nicht das Lösen, sondern das Aufstellen. Bei Textaufgaben schreibe ich vor der ersten Gleichung immer explizit hin, wofür x, y und z stehen – inklusive Einheit („x = Stück Produkt A pro Woche“). Dann bilde ich pro Bedingung eine Gleichung: eine Zeile für Material, eine für Maschinenstunden, eine für die Gesamtmenge. Drei Bedingungen – drei Gleichungen. Wenn ich nur zwei zusammenbekomme, habe ich eine Information im Text überlesen, und das ist erfahrungsgemäß die entscheidende.

Und ganz am Schluss ein Antwortsatz in Wörtern, nicht nur die drei Zahlen. Kostet zehn Sekunden und ist in fast jedem Erwartungshorizont ein eigener Punkt.

Ich hänge noch die Schreibweise an, die ab drei Unbekannten viel Schreibarbeit spart und in Wiwi-Klausuren oft ausdrücklich verlangt wird: die erweiterte Koeffizientenmatrix.

Statt jede Gleichung mit x, y, z und Gleichheitszeichen abzuschreiben, notierst du nur noch die Zahlen – links die Koeffizienten, rechts hinter einem Strich die rechte Seite. Aus dem Beispiel oben wird also ein Zahlenblock mit drei Zeilen und vier Spalten. Die erlaubten Umformungen sind dieselben wie bei den Gleichungen: Zeilen tauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren, das Vielfache einer Zeile zu einer anderen addieren.

Zwei Vorteile:

• Gauß-Jordan: Wenn du nicht nur bis zur Stufenform, sondern weiter bis zur Einheitsmatrix umformst, steht die Lösung am Ende einfach rechts – du brauchst gar kein Rückwärtseinsetzen mehr. Das lohnt sich vor allem, wenn dieselbe Koeffizientenmatrix mit mehreren rechten Seiten auftaucht.
• Saubere Begründung der Lösbarkeit statt „letzte Zeile angucken“: Es gilt eine Lösung genau dann, wenn Rang der Koeffizientenmatrix = Rang der erweiterten Matrix ist. Stimmt dieser Rang zusätzlich mit der Zahl der Unbekannten überein, ist die Lösung eindeutig; ist er kleiner, gibt es unendlich viele mit entsprechend vielen freien Parametern. Wenn in der Aufgabe „begründen Sie die Lösbarkeit“ steht, ist das die Formulierung, die volle Punkte holt.

Wo dir das im Studium wieder begegnet: bei der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung nach dem Gleichungsverfahren – gegenseitige Leistungen der Hilfskostenstellen führen genau auf so ein System – und bei Materialverflechtungen (Rohstoff → Zwischenprodukt → Endprodukt). Da ist das Aufstellen wieder der schwierige Teil, das Lösen danach reine Mechanik.

Und die Probe von oben würde ich immer machen, aber in allen Gleichungen, nicht nur in der einen: Ein Vorzeichenfehler beim Eliminieren zeigt sich sonst gern erst in der Gleichung, die man weggelassen hat.