Zeitreihe glätten: gleitender Durchschnitt und Saisonindex – wie trenne ich Trend und Saison sauber?

Der rote Faden ist das Komponentenmodell. Wenn du das im Kopf hast, ergeben sich alle Rechenschritte fast von selbst.

Die Idee: Jeder beobachtete Wert ist eine Überlagerung mehrerer Einflüsse.

• T – Trend (langfristige Grundrichtung, oft zusammen mit der Konjunktur als glatte Komponente behandelt)
• S – Saison (regelmäßiges Muster, das sich jedes Jahr wiederholt)
• R – Rest bzw. Zufall (alles Übrige)

Entweder additiv Y = T + S + R oder multiplikativ Y = T × S × R. Erkennungsregel: Werden die Saisonausschläge größer, wenn das Niveau der Reihe steigt, rechne multiplikativ; bleiben sie absolut gleich groß, additiv. Bei Umsätzen ist multiplikativ fast immer die bessere Wahl, weil das Weihnachtsquartal eben „20 % über normal“ liegt und nicht „immer genau 40.000 Euro darüber“.

Zu deiner ersten Frage – wie viele Werte: Die Ordnung des gleitenden Durchschnitts ist nicht frei wählbar, sondern gleich der Länge einer Saisonperiode. Quartalsdaten → Ordnung 4. Monatsdaten → Ordnung 12. Wochentagsdaten → Ordnung 7. Nur so wird über genau einen vollständigen Saisonzyklus gemittelt, und nur dann hebt sich die Saisonkomponente heraus. Die 3er- und 5er-Beispiele im Skript sind reine Rechenübungen zur Glättung ohne Saisonbezug.

Weil 4 eine gerade Zahl ist, brauchst du den zentrierten gleitenden Durchschnitt. Bei ungerader Ordnung liegt der Mittelwert genau auf einem Zeitpunkt; bei gerader Ordnung läge er zwischen zwei Quartalen. Man mittelt deshalb mit halbem Gewicht an den Rändern:

• T(t) = (0,5 × y(t−2) + y(t−1) + y(t) + y(t+1) + 0,5 × y(t+2)) / 4

Das ist rechnerisch dasselbe, wie zweimal hintereinander über jeweils vier Werte zu mitteln.

Zur zweiten Frage – die verlorenen Werte: Du wirfst nichts weg, du kannst am Rand nur nicht rechnen. Für den ersten Wert gibt es keine zwei Vorgänger. Bei Ordnung 4 fehlen dir deshalb vorn und hinten je zwei Werte; aus 12 Beobachtungen werden 8 Trendwerte. Das ist der Preis der Methode und gehört genau so in die Lösung – die Randwerte werden nicht geschätzt.

Der Ablauf am Stück (multiplikativ):

1. Zentrierten gleitenden Durchschnitt berechnen → das ist deine glatte Komponente T.
2. Für jeden Zeitpunkt y(t) / T(t) bilden → rohe Saison-Rest-Werte.
3. Diese Werte je Quartal über die Jahre mitteln (alle ersten Quartale zusammen, alle zweiten usw.) – dabei mittelt sich der Zufall heraus, übrig bleibt die rohe Saisonfigur.
4. Normieren: Die vier Indizes müssen im Schnitt 1 ergeben, ihre Summe also 4. Falls nicht, jeden Index mit 4 / (Summe der Indizes) multiplizieren. Beim additiven Modell muss die Summe stattdessen 0 sein.
5. Saisonbereinigte Reihe = y(t) / S(Quartal von t).

Kontrolle für die Klausur: Ein Index von 1,18 im vierten Quartal heißt „das vierte Quartal liegt üblicherweise 18 % über dem Jahresniveau“. Wenn du diesen Satz zu deinen Zahlen sagen kannst, stimmt die Rechnung meistens.

Ich beantworte deine dritte Frage – was sagt die saisonbereinigte Reihe eigentlich aus –, weil sie die wichtigste ist.

Die bereinigte Reihe beantwortet die Frage: Wie hätte sich der Umsatz entwickelt, wenn es keine jahreszeitlichen Schwankungen gäbe? Genau das meint das Statistische Bundesamt, wenn es heißt, die Arbeitslosigkeit sei „saisonbereinigt gestiegen“. Roh sinkt die Arbeitslosigkeit im Frühjahr immer, weil Bau und Landwirtschaft anlaufen – diese Information ist wertlos, weil sie sich jedes Jahr wiederholt. Interessant ist nur die Abweichung vom üblichen Muster. Deshalb erlaubt erst die bereinigte Reihe den Vergleich zweier aufeinanderfolgender Quartale.

Die einfache Alternative dazu kennst du ebenfalls aus den Nachrichten: der Vorjahresvergleich (drittes Quartal 2026 gegen drittes Quartal 2025). Auch der schaltet die Saison aus, weil gleiche Quartale verglichen werden. Sein Nachteil ist die Trägheit – ein Einbruch im aktuellen Quartal wird durch fast ein Jahr alte Daten verwässert. Also: Vorjahresvergleich für die grobe Richtung, Saisonbereinigung für den aktuellen Verlauf.

Zwei Abgrenzungen, die in Klausuren oft durcheinandergehen:

• Gleitender Durchschnitt vs. Trendgerade. Der gleitende Durchschnitt beschreibt nur, was war – er hat keine Funktionsgleichung und endet dort, wo die Daten enden. Für eine Prognose brauchst du eine Trendfunktion, üblicherweise nach der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt. Signalwörter: „glätten“ oder „saisonbereinigen“ → gleitender Durchschnitt; „schätzen Sie den Umsatz für das erste Quartal des Folgejahres“ → Trendfunktion.
• Prognose = Trendwert × Saisonindex. Wer nur den Trendwert hinschreibt, hat die halbe Aufgabe gelöst. Erst die Rücktransformation mit dem Index des passenden Quartals ergibt den prognostizierten Wert.

Methodisch dazusagen sollte man außerdem: Das Verfahren unterstellt eine über die Jahre stabile Saisonfigur. Mit drei Jahren Daten hast du je Quartal nur drei Werte für die Mittelung – das ist die absolute Untergrenze, und ein einzelner Ausreißer schlägt entsprechend stark durch. In der Praxis kommen Kalender- und Arbeitstageffekte hinzu (Ostern liegt mal im ersten, mal im zweiten Quartal), weshalb dort Verfahren wie X-13 eingesetzt werden statt des Handschemas. Für die Klausur reicht das Schema vollkommen – aber der Hinweis, dass die Saisonfigur als konstant unterstellt wird, ist in einer Interpretationsaufgabe fast immer einen Punkt wert.