Matrizen multiplizieren – wann geht das überhaupt, und wie merke ich mir das Schema?

Kein Fehler im Lösungsheft – Matrizenmultiplikation ist tatsächlich nicht kommutativ. Aber der Reihe nach, denn die eine Regel, die du suchst, gibt es wirklich.

Wann ist das Produkt definiert? Nur wenn die Spaltenzahl der linken Matrix mit der Zeilenzahl der rechten übereinstimmt. Formal:

A (m × n) · B (n × p) = C (m × p)

Der Merktrick: Schreib die beiden Formate nebeneinander hin, also (3×2)·(2×4). Die inneren Zahlen müssen gleich sein, dann geht es – und die äußeren Zahlen ergeben das Format des Ergebnisses, hier (3×4). Sind die inneren Zahlen verschieden, ist das Produkt schlicht nicht definiert. Genau deshalb kann A·B existieren und B·A nicht.

Wie wird gerechnet? „Zeile mal Spalte“: Das Element c_ij in Zeile i und Spalte j ist die Summe der Produkte aus der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B. Also erstes Element mal erstes Element, plus zweites mal zweites, und so weiter.

Für die Handrechnung nimm unbedingt das Falk-Schema: Du schreibst B nach rechts oben, A nach links unten, und das Ergebnis erscheint im Kreuzungsfeld. Jedes Ergebniselement steht dann genau dort, wo sich seine Zeile und seine Spalte schneiden. Das reduziert die Verwechslungsfehler enorm, weil man nicht mehr im Kopf mitzählen muss, wo man gerade ist.

Und zur Nicht-Kommutativität: Selbst wenn beide Produkte existieren (bei quadratischen Matrizen), sind sie im Allgemeinen verschieden. Assoziativ und distributiv ist die Multiplikation dagegen sehr wohl – nur die Reihenfolge darfst du nie vertauschen.

Was mir das Ganze erst wirklich verständlich gemacht hat, war das dahinterstehende betriebswirtschaftliche Beispiel – die Materialverflechtung. Danach vergisst man die Regel nicht mehr, weil man sieht, warum sie so sein muss.

Stell dir vor, aus Rohstoffen werden Zwischenprodukte, aus Zwischenprodukten Endprodukte:

• Matrix A: wie viele Einheiten jedes Rohstoffs stecken in jedem Zwischenprodukt (Format Rohstoffe × Zwischenprodukte)
• Matrix B: wie viele Zwischenprodukte stecken in jedem Endprodukt (Format Zwischenprodukte × Endprodukte)
• Produkt A·B: wie viele Rohstoffe stecken direkt in jedem Endprodukt (Format Rohstoffe × Endprodukte)

Jetzt ist sofort klar, warum die inneren Formate übereinstimmen müssen: Die Zwischenprodukte sind das Bindeglied, und es müssen auf beiden Seiten dieselben sein. Und ebenso klar ist, warum B·A Unsinn wäre – man kann Endprodukte nicht in Zwischenprodukte einsetzen. Die Reihenfolge ist hier keine Konvention, sondern Fachlogik.

Wenn du dann noch einen Bedarfsvektor der Endprodukte dranmultiplizierst (Format Endprodukte × 1), bekommst du direkt den Gesamtrohstoffbedarf als Vektor (Rohstoffe × 1). Das ist eine der beliebtesten Klausuraufgaben in Wirtschaftsmathe überhaupt, oft eingekleidet als Gozintograph.

Zwei Kleinigkeiten für die Klausur:

• Die Einheitsmatrix E spielt die Rolle der Zahl 1: A·E = E·A = A. Sie ist eine der wenigen Matrizen, mit der die Multiplikation doch vertauschbar ist.
• Eine Division gibt es nicht. Was man stattdessen macht, ist die Multiplikation mit der inversen Matrix A⁻¹, und die existiert nur für quadratische Matrizen mit Determinante ungleich null. Das ist der übliche nächste Abschnitt im Skript.

Ich hänge noch die Werkzeug-Perspektive dran, weil man sich damit selbst kontrollieren kann: Die Dimensionsregel aus dem Thread ist genau das, was Software beim Rechnen prüft.

In Tabellenkalkulationen macht das die Funktion MMULT – markierten Ergebnisbereich in der Größe (m×p) auswählen und die beiden Bereiche übergeben. Passen die inneren Dimensionen nicht, kommt ein Fehlerwert statt eines Ergebnisses. In Python mit NumPy ist es der Operator @ bzw. numpy.matmul, und die Fehlermeldung nennt sogar beide Formate im Klartext.

Der Lerneffekt: Wenn du eine Aufgabe von Hand gerechnet hast und dir unsicher bist, ob du Zeile und Spalte vertauscht hast, tippst du dieselbe Rechnung einmal ein. Kommt ein Fehler, war die Reihenfolge falsch (A·B ≠ B·A ist ja gerade der Punkt). Kommt ein Ergebnis mit unerwartetem Format, hast du beim Aufschreiben Zeilen und Spalten vertauscht.

Fürs Falk-Schema auf Papier bleibe ich trotzdem bei der Empfehlung aus dem Thread – für die Klausur muss man es können. Aber zum Nachrechnen der Übungsaufgaben ist es Gold wert, in zwei Minuten zwanzig Ergebnisse zu prüfen statt zwanzig Minuten neu zu rechnen 🙂