Mischkosten aufteilen: Wie funktioniert das Hoch-Tief-Verfahren – und warum kommt bei der Regression etwas anderes raus?

Gute Frage, und du stellst sie genau richtig herum – nämlich nach dem Warum. Ich gehe erst durchs Verfahren und dann durch deine beiden Punkte.

Die Grundidee. Du unterstellst, dass sich die Gesamtkosten in einem bestimmten Beschäftigungsbereich linear verhalten: Gesamtkosten = Fixkosten + variabler Kostensatz mal Beschäftigung. Zwei Unbekannte, also brauchst du zwei Gleichungen – und dafür genügen zwei beobachtete Punkte. Genau das macht das Hoch-Tief-Verfahren.

Schritt 1 – variabler Kostensatz. Du nimmst die Beobachtung mit der höchsten und die mit der niedrigsten Beschäftigung (nicht mit den höchsten Kosten! Das ist der häufigste Klausurfehler) und bildest den Differenzenquotienten: Kostendifferenz geteilt durch Mengendifferenz, also (Kosten hoch minus Kosten niedrig) geteilt durch (Stunden hoch minus Stunden niedrig).

Merksatz: Kostenänderung geteilt durch Mengenänderung. Der Trick dahinter ist, dass sich die Fixkosten beim Subtrahieren herauskürzen – sie stecken in beiden Werten mit demselben Betrag drin. Das ist auch die Antwort auf dein „warum überhaupt zwei Punkte“: Du brauchst die Differenz, um die Fixkosten loszuwerden.

Schritt 2 – Fixkosten. Jetzt setzt du den variablen Kostensatz in eine der beiden Beobachtungen ein und löst nach den Fixkosten auf: Fixkosten = Kosten hoch minus variabler Kostensatz mal Stunden hoch.

Kontrolle: Setz es auch in den zweiten Punkt ein – es muss derselbe Fixkostenbetrag herauskommen. Wenn nicht, hast du dich verrechnet. Das ist ein kostenloser Sicherheitscheck, den in Klausuren fast niemand macht.

Zu deiner ersten Frage – warum die Extremwerte? Weil sie den größten Hebel für die Differenz liefern. Je weiter die beiden Beschäftigungswerte auseinanderliegen, desto weniger schlägt ein kleiner Messfehler in den Kosten auf den Kostensatz durch. Nähmest du zwei Monate mit fast gleicher Beschäftigung, teiltest du eine kleine Kostendifferenz durch eine winzige Mengendifferenz – das Ergebnis würde wild schwanken. Das Verfahren nimmt also nicht die Extremwerte, obwohl sie Extremwerte sind, sondern weil sie den größten Abstand haben.

Der Preis dafür ist genau der Verdacht, den du hast: Wenn einer der beiden Randmonate untypisch war – Betriebsferien, Sondereffekt, Streik – vergiftet dieser eine Wert das ganze Ergebnis, weil die übrigen Beobachtungen schlicht ignoriert werden.

Ich hänge mich an Fabians letzten Absatz an, weil deine zweite Frage genau dort ansetzt.

Warum die Regression etwas anderes liefert. Das Hoch-Tief-Verfahren benutzt zwei Datenpunkte, die lineare Regression alle. Die Regressionsgerade wird so gelegt, dass die Summe der quadrierten senkrechten Abstände aller Punkte minimal wird – die Methode der kleinsten Quadrate. Zwei verschiedene Rechenvorschriften auf denselben Daten dürfen und werden unterschiedliche Ergebnisse liefern; das ist kein Widerspruch, sondern der Unterschied zwischen einer Näherung mit zwei Stützstellen und einer Ausgleichsrechnung über den gesamten Datensatz. Nur wenn alle Punkte exakt auf einer Geraden lägen, wären beide Ergebnisse identisch.

Praktisch heißt das: Hoch-Tief ist die Schnellschätzung – im Kopf oder auf dem Bierdeckel machbar, ohne Tabellenkalkulation, und in der Klausur beliebt, weil sie in fünf Minuten prüfbar ist. Die Regression ist das saubere Verfahren, wenn du Daten und ein Werkzeug hast.

Was du in einer Beurteilungsaufgabe schreiben solltest:

• Vorteile Hoch-Tief: einfach, schnell, wenig Daten nötig, transparent nachvollziehbar.
• Nachteile: nutzt nur zwei Beobachtungen, extrem anfällig für Ausreißer und Sondereinflüsse, liefert keinerlei Güteinformation – kein Bestimmtheitsmaß, keine Aussage über die Streuung.
• Gemeinsame Grenze beider Verfahren: Die Linearitätsannahme gilt nur im beobachteten Beschäftigungsintervall. Eine Extrapolation auf das Doppelte der bisherigen Maschinenstunden ist unzulässig – dann kommen Zusatzschichten, ein zweites Aggregat, Sprungfixkosten dazu.

Zwei Stichworte, mit denen du in der mündlichen Prüfung punkten kannst:

Sprungfixkosten: Fixkosten sind nur innerhalb einer Kapazitätsstufe fix. Kaufst du eine zweite Maschine, springt der Fixkostenblock nach oben – die Gerade hat dann einen Treppenabsatz und dein Modell gilt nur noch abschnittsweise.

Kostenremanenz: Kosten folgen einem Beschäftigungsrückgang oft verzögert und nicht symmetrisch – Personal lässt sich nicht in dem Tempo abbauen, in dem die Aufträge wegbrechen. Deshalb passt eine einzige Gerade für steigende und fallende Beschäftigung in der Realität selten perfekt.

Und ein Tipp fürs Rechnen: Bevor du irgendein Verfahren anwendest, zeichne die Punkte kurz auf. Wenn einer der beiden Randmonate erkennbar aus der Reihe tanzt, erwähnst du das in der Antwort und rechnest gegebenenfalls mit dem zweithöchsten Wert weiter – mit Begründung. Das gibt in Klausuren regelmäßig Punkte, weil es zeigt, dass du das Verfahren verstanden hast und nicht nur bedienst.

Ich hänge noch ein durchgerechnetes Zahlenbeispiel an, weil mir das beim Hoch-Tief-Verfahren damals mehr geholfen hat als jede Formel.

Daten: Im schwächsten Monat 400 Maschinenstunden bei 5.200 € Stromkosten, im stärksten Monat 1.200 Maschinenstunden bei 9.200 €.

1. Variabler Kostensatz: Kostendifferenz 4.000 € geteilt durch Mengendifferenz 800 Stunden = 5 € pro Stunde.
2. Fixkosten: 9.200 € minus 5 € mal 1.200 Stunden = 3.200 €.
3. Gegenprobe mit dem anderen Punkt: 5.200 € minus 5 € mal 400 Stunden = 3.200 €. Passt.

Kostenfunktion also: K = 3.200 € + 5 € · x. Für eine Planung mit 900 Stunden: 3.200 € + 4.500 € = 7.700 €. Das liegt innerhalb des beobachteten Intervalls – bei 2.000 Stunden dürfte man die Funktion nach Ninas Hinweis nicht mehr anwenden.

Und zum Vergleich mit der Regression: Wenn du alle Monatswerte in Excel hast, bekommst du die Regressionswerte ohne Handrechnung mit =STEIGUNG(Kosten;Stunden) für den variablen Kostensatz, =ACHSENABSCHNITT(Kosten;Stunden) für die Fixkosten und =BESTIMMTHEITSMASS(Kosten;Stunden) für R². Oder du legst ein Punktdiagramm an und fügst eine lineare Trendlinie mit angezeigter Gleichung ein. Rechne einmal beides auf demselben Datensatz – der Unterschied zeigt dir sofort, wie stark die beiden Randmonate von den übrigen abweichen.