Gauß-Algorithmus - wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen?

Hi Tim, deine Grundidee ist schon richtig, aber die Sache mit dem "beliebig wählen" ist genau der Punkt, wo man sich in der Klausur gerne verzettelt. Da gibt's tatsächlich eine feste Regel, kein Rätselraten 🙂

Nach dem Gauß-Algorithmus hast du am Ende ein Zeilenstufenform. Jede Zeile, die nicht komplett null ist, hat irgendwo ihr erstes Element ungleich 0 – das nennt man Pivot. Die Spalten mit Pivot gehören zu den gebundenen Variablen (die kannst du eindeutig durch die anderen ausdrücken). Alle Spalten ohne Pivot gehören zu den freien Variablen – und genau die setzt du als Parameter.

Also: nicht nach Gefühl aussuchen, sondern hinschauen, welche Spalte in der Treppenform kein Pivotelement hat. Wenn du z. B. 3 Variablen und nach dem Eliminieren nur 2 "echte" Zeilen mit Pivot hast, bleibt eine Spalte ohne Pivot übrig – die wird zu deinem t.

Zum Unterschied, den du schon richtig erkannt hast:

• 0 = 0 bedeutet: diese Gleichung war überflüssig (abhängig von den anderen), das LGS hat also weniger "echte" Bedingungen als Variablen → unendlich viele Lösungen (wenn mindestens eine Variable frei bleibt).
• 0 = c mit c ≠ 0 ist ein Widerspruch, sowas wie "0 = 5" kann nie stimmen → keine Lösung, fertig, Lösungsmenge ist leer.

Typischer Fehler: Leute rechnen nach so einer Widerspruchszeile trotzdem tapfer weiter und basteln sich eine Lösung zusammen. Sobald du 0=c mit c≠0 siehst, kannst du aufhören zu rechnen 😉

Um das noch zu ergänzen: Nachdem ihr die freie Variable als Parameter t identifiziert habt, lohnt es sich, die Lösungsmenge systematisch als Vektorgleichung aufzuschreiben, statt nur die einzelnen Variablen hinzuschreiben. Das sieht in der Klausur sauberer aus und zeigt dem Korrektor, dass man die Struktur verstanden hat.

Vorgehen:

• Rückwärtseinsetzen: die gebundenen Variablen in Abhängigkeit von t ausdrücken (also x1 = ... + a·t, x2 = ... + b·t usw.)
• Dann den Lösungsvektor aufspalten in einen konstanten Teil (Partikulärlösung) und einen Teil, der mit t multipliziert wird (Richtungsvektor):

x = x_p + t · v

wobei x_p die Lösung für t = 0 ist und v der Vektor der Koeffizienten vor t in jeder Komponente (bei x3 selbst steht dann einfach eine 1, da x3 = t).

Das entspricht geometrisch einer Geraden im Lösungsraum, bei zwei freien Parametern wäre es entsprechend eine Ebene (x_p + s·v1 + t·v2). Praktischer Nebeneffekt: Ihr könnt durch Einsetzen von t = 0 und t = 1 schnell prüfen, ob eure Lösung stimmt, indem ihr zwei konkrete Punkte ins Ausgangssystem einsetzt. Das ist ein guter Schnellcheck gegen Rechenfehler, gerade unter Zeitdruck in der Klausur.

Guter Hinweis von Lisa mit der Probe über zwei Punkte, das mache ich mittlerweile auch standardmäßig, seit ich mir in einer Klausur mit einem Vorzeichenfehler in der Rückwärtssubstitution die halbe Punktzahl versaut habe. Mein Tipp dazu: Nehmt nicht nur t=0 und t=1, sondern setzt die komplette Lösung x_p + t·v mit einem allgemeinen t symbolisch in alle ursprünglichen Gleichungen ein, nicht nur in die, aus der ihr gerade eliminiert habt. Gerade bei größeren Systemen passiert es leicht, dass man nur die letzte verwendete Zeile prüft und einen Fehler aus einer früheren Umformung übersieht.

Wenn ihr es symbolisch mit t durchrechnet, muss sich am Ende in jeder Zeile eine wahre Aussage ergeben, bei der sich die t-Terme komplett wegkürzen (also z. B. 3t - 3t = 0 übrig bleibt). Tut es das nicht, wisst ihr sofort, dass irgendwo beim Rückwärtseinsetzen ein Fehler drin ist, und könnt gezielt nachschauen, statt die ganze Rechnung noch einmal von vorne zu machen.

Als Merksatz für mich hat sich eingeprägt: Anzahl Variablen minus Anzahl Pivotzeilen = Anzahl freier Parameter. Das hilft auch schon vor dem Rückwärtseinsetzen, um grob abzuschätzen, wie die Lösungsmenge aussehen wird.