Rang einer Matrix bestimmen – wie finde ich ihn möglichst schnell?

Hallo Tim, das Problem mit den Brüchen kenne ich gut, das kostet in der Klausur wirklich Nerven und Zeit. Ein paar Dinge, die mir helfen:

• Bevor ich überhaupt mit dem Gauß-Algorithmus anfange, schaue ich mir die Matrix kurz an: Gibt es eine Nullzeile oder Nullspalte? Dann ist der Rang schon mal höchstens 3 und ich weiß, worauf ich hinarbeite. Ebenso lohnt der Blick, ob eine Zeile offensichtlich ein Vielfaches einer anderen ist – das spart eine ganze Umformung.
• Bei der Zeilenwahl für den Pivot versuche ich immer die Zeile mit den „schönsten“ Zahlen (am besten eine 1 oder -1) ganz nach oben zu tauschen, bevor ich eliminiere. Das verhindert von Anfang an viele Brüche.
• Wenn trotzdem Brüche entstehen, multipliziere ich lieber eine ganze Zeile mit einem passenden Faktor, statt mit Bruchzahlen zu rechnen. Das ist erlaubt und macht die Rechnung deutlich übersichtlicher.
• Entsteht während der Umformung eine Nullzeile, kann ich sofort aufhören zu rechnen – der Rang ergibt sich dann aus der Anzahl der verbleibenden Zeilen ungleich Null. Das ist oft der Punkt, an dem man in der Klausur Zeit gewinnt, weil man nicht bis zur vollständigen Stufenform rechnen muss.

Für 4x4-Matrizen sehe ich aber ehrlich gesagt auch keinen Weg komplett am Gauß vorbei, außer die Matrix hat eine sehr spezielle Struktur (z. B. offensichtlich abhängige Zeilen auf den ersten Blick). Übung macht hier wirklich den Unterschied, vor allem das schnelle Erkennen günstiger Pivotelemente.