Konsumentenrente und Produzentenrente im Diagramm – wie berechne ich die Flächen?

Die Dreiecksformel ist eigentlich nur der Spezialfall des Integrals für lineare Funktionen, deshalb funktioniert sie auch nur dann sauber. Ich leite das kurz her, dann wird auch klar, warum PR bei nicht-linearer oder verschobener Angebotskurve anders aussieht.

Allgemein gilt:

• KR = Integral von 0 bis x* über (p_N(x) - p*) dx
• PR = Integral von 0 bis x* über (p* - p_A(x)) dx

Bei linearer Nachfrage p_N(x) = a - b·x ist das Integral geometrisch nichts anderes als die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Schenkeln x* (Gleichgewichtsmenge) und (a - p*) (Prohibitivpreis minus Gleichgewichtspreis). Daher:

KR = 0,5 · x* · (a - p*)

Das funktioniert, weil die Nachfragefunktion bei x=0 den Wert a (Prohibitivpreis) annimmt und bei x* den Wert p*. Die Fläche zwischen Kurve und Preislinie p* ist eben ein Dreieck, weil die Funktion linear ist.

Für PR gilt analog: Wenn die Angebotsfunktion p_A(x) = c + d·x ist und bei x=0 den Wert c hat (nicht zwingend 0!), dann ist

PR = 0,5 · x* · (p* - c)

Wichtig: c ist hier der Schnittpunkt der Angebotskurve mit der Preisachse, nicht zwangsläufig 0. Felix, dein Fehler war vermutlich, dass du für PR automatisch (p* - 0) angenommen hast. Schau also immer, wo die Angebotsfunktion die Preisachse schneidet.

Falls die Funktionen nicht linear sind, kommst du um das Integral nicht herum – dann einfach stur Integral(Nachfrage - p*) bzw. Integral(p* - Angebot) in den Grenzen 0 bis x* ausrechnen, das Dreieck ist nur die Abkürzung für den linearen Fall.

Super erklärt von Lisa, das Integral ist echt der Schlüssel dazu. Ich häng mal den Steuer-Fall dran, weil das in Klausuren gerne als Erweiterung kommt.

Wenn der Staat eine Mengensteuer t pro Stück erhebt, klafft zwischen Angebots- und Nachfragepreis eine Lücke auf. Du bekommst dann zwei unterschiedliche Preise: den Preis, den Konsumenten zahlen (p_K) und den Preis, den Produzenten tatsächlich erhalten (p_P), mit p_K - p_P = t. Die neue Gleichgewichtsmenge x_t ergibt sich, indem du p_N(x) - p_A(x) = t setzt und nach x auflöst.

Die Renten berechnest du dann genauso wie vorher, nur eben mit den neuen Grenzen:

• KR_neu = Integral von 0 bis x_t über (p_N(x) - p_K) dx
• PR_neu = Integral von 0 bis x_t über (p_P - p_A(x)) dx

Beide Flächen werden kleiner, weil x_t < x*. Das Steueraufkommen ist t · x_t, geometrisch ein Rechteck zwischen p_K und p_P über der Menge x_t.

Der Wohlfahrtsverlust (Deadweight Loss) ist dann der Rest: (KR_alt + PR_alt) - (KR_neu + PR_neu + Steueraufkommen). Grafisch ist das genau das kleine Dreieck zwischen x_t und x*, das durch die Steuer "verloren" geht, weil dort eigentlich noch Tauschgeschäfte stattfinden würden, die sich aber wegen der Steuer nicht mehr lohnen. Merksatz: Je elastischer eine Seite reagiert, desto größer wird dieses Dreieck.

Top, Lisa und Kathi haben das Handwerkszeug ja schon komplett geliefert. Ich häng mal ein kleines Zahlenbeispiel dran, damit man sieht, wie das in der Klausur konkret aussieht, ohne dass ich euch jetzt eine 1:1-Aufgabe vorrechne 😉

Angenommen ihr habt p_N(x) = 100 - 2x und p_A(x) = 10 + 3x gegeben. Schritt für Schritt:

• Gleichgewicht finden: 100 - 2x = 10 + 3x → x* = 18, p* einsetzen → p* = 64.
• Prohibitivpreis der Nachfrage ist a = 100 (Wert bei x=0), Achsenabschnitt des Angebots ist c = 10.
• KR = 0,5 · 18 · (100 - 64) = 0,5 · 18 · 36 = 324
• PR = 0,5 · 18 · (64 - 10) = 0,5 · 18 · 54 = 486

Das sind genau die Werte, die ihr über das Integral auch bekommt, nur eben schneller, weil beide Funktionen linear sind. Typischer Klausurfehler, den ich bei Korrekturen oft sehe: Leute nehmen für PR automatisch die ganze Fläche bis p=0, obwohl die Angebotskurve erst bei c=10 losgeht. Dann kommt eine viel zu große PR raus. Also immer erst schauen, wo die Angebotsgerade die y-Achse schneidet, bevor ihr die Dreiecksformel anwendet. Bei Steuerfällen rechnet ihr einfach mit den neuen Schnittpreisen p_K und p_P genauso weiter, wie Kathi's Beispiel zeigt.

Marcos Zahlenbeispiel ist gut, um das nochmal fürs Steuerszenario weiterzudenken. Nehmt einfach seine Funktionen und packt eine Steuer t = 10 drauf. Dann setzt ihr p_N(x) - p_A(x) = t, also 100 - 2x - (10 + 3x) = 10, und löst nach x_t auf. Daraus bekommt ihr dann p_K über die Nachfragefunktion und p_P über die Angebotsfunktion, wobei die Differenz genau t sein muss – das ist eine gute Kontrolle, ob ihr richtig gerechnet habt.

Zur Veranschaulichung im Diagramm: Die KR-Fläche wird oben durch die Nachfragekurve begrenzt, aber jetzt bis zur Linie p_K statt p*, und nur bis x_t statt x*. Die PR-Fläche liegt zwischen p_P und der Angebotskurve, ebenfalls nur bis x_t. Beide Dreiecke werden also kleiner, weil sie sowohl in der Höhe (durch die auseinanderklaffenden Preise) als auch in der Breite (geringere Menge) schrumpfen.

Das Rechteck zwischen p_K und p_P über x_t ist die Steuereinnahme – die „wandert“ quasi aus KR und PR raus zum Staat, ist also kein Wohlfahrtsverlust, sondern nur eine Umverteilung. Nur das kleine Dreieck zwischen x_t und x* geht komplett verloren, das ist der DWL. Merke ich mir immer so: Rechteck = Umverteilung, Dreieck = echter Verlust. Hilft mir in Klausuren, nicht durcheinanderzukommen, welche Fläche wozu gehört.

Kathis Rechteck/Dreieck-Merksatz trifft es genau, ich ergänze noch, wie man den DWL direkt als Formel bekommt, ohne ihn mühsam aus den Einzelflächen zusammenzusetzen.

Da die alte und neue Menge bei linearen Funktionen bekannt sind, lässt sich der DWL auch als eigenständiges Dreieck berechnen:

• Breite des Dreiecks: x* - x_t
• Höhe des Dreiecks: t (also p_K - p_P)
• DWL = 0,5 · (x* - x_t) · t

Das funktioniert, weil die Spitze des Dreiecks genau im ursprünglichen Gleichgewicht (x*, p*) liegt und die Grundseite die Differenz p_K - p_P bei x_t ist. Man muss also nicht zwingend erst KR_neu und PR_neu einzeln ausrechnen und dann von den alten Werten abziehen, sondern kann sich bei linearen Funktionen diesen Umweg sparen, wenn man nur den DWL braucht.

Ein Punkt, der in Klausuren gern übersehen wird: Die Aufteilung der Steuerlast zwischen Konsumenten und Produzenten hängt von den Steigungen (also den Elastizitäten) ab. In Marcos Beispiel ist die Angebotskurve steiler als die Nachfragekurve, daher trägt in dem Fall der Konsument einen größeren Teil der Steuerlast. Wer das noch prüfen will: einfach schauen, wie sich p_K und p_P jeweils vom alten p* = 64 entfernt haben, das Verhältnis entspricht genau dem inversen Verhältnis der Steigungen.

Will nochmal kurz auf die Integral-Schiene zurück, weil ich finde, man sollte die auch bei linearen Funktionen einmal selbst durchrechnen können – nicht nur zur Kontrolle, sondern weil manche Klausuraufgaben die Funktionen so hinschreiben, dass man das Dreieck nicht sofort erkennt (z.B. wenn p_A(x) als x(p) gegeben ist und erst umgestellt werden muss).

Konkret bei Marcos Beispiel würde die KR über das Integral so aussehen:

• KR = Integral von 0 bis 18 über [(100 - 2x) - 64] dx
• = Integral von 0 bis 18 über (36 - 2x) dx
• = [36x - x²] von 0 bis 18
• = 648 - 324 = 324

Kommt also exakt dasselbe raus wie über die Dreiecksformel, nur eben über Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen statt über die geometrische Abkürzung. Für PR läuft es analog mit (64 - (10+3x)) integriert.

Der Vorteil vom Integral: Sobald in der Klausur mal eine quadratische Nachfragefunktion auftaucht (kommt bei uns ab und zu vor, z.B. p_N(x) = 100 - x²), ist die Dreiecksformel komplett wertlos, aber das Integral funktioniert trotzdem genau gleich, nur die Stammfunktion ändert sich halt. Ich übe das eigentlich immer so, dass ich beide Wege parallel rechne, bis ich sicher bin – gibt mir mehr Vertrauen in der Klausur, wenn ich unter Zeitdruck bin und mich nicht aufs Dreieck verlassen will.