Konsumentenrente und Produzentenrente im Diagramm – wie berechne ich die Flächen?

Die Dreiecksformel ist eigentlich nur der Spezialfall des Integrals für lineare Funktionen, deshalb funktioniert sie auch nur dann sauber. Ich leite das kurz her, dann wird auch klar, warum PR bei nicht-linearer oder verschobener Angebotskurve anders aussieht.

Allgemein gilt:

• KR = Integral von 0 bis x* über (p_N(x) - p*) dx
• PR = Integral von 0 bis x* über (p* - p_A(x)) dx

Bei linearer Nachfrage p_N(x) = a - b·x ist das Integral geometrisch nichts anderes als die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Schenkeln x* (Gleichgewichtsmenge) und (a - p*) (Prohibitivpreis minus Gleichgewichtspreis). Daher:

KR = 0,5 · x* · (a - p*)

Das funktioniert, weil die Nachfragefunktion bei x=0 den Wert a (Prohibitivpreis) annimmt und bei x* den Wert p*. Die Fläche zwischen Kurve und Preislinie p* ist eben ein Dreieck, weil die Funktion linear ist.

Für PR gilt analog: Wenn die Angebotsfunktion p_A(x) = c + d·x ist und bei x=0 den Wert c hat (nicht zwingend 0!), dann ist

PR = 0,5 · x* · (p* - c)

Wichtig: c ist hier der Schnittpunkt der Angebotskurve mit der Preisachse, nicht zwangsläufig 0. Felix, dein Fehler war vermutlich, dass du für PR automatisch (p* - 0) angenommen hast. Schau also immer, wo die Angebotsfunktion die Preisachse schneidet.

Falls die Funktionen nicht linear sind, kommst du um das Integral nicht herum – dann einfach stur Integral(Nachfrage - p*) bzw. Integral(p* - Angebot) in den Grenzen 0 bis x* ausrechnen, das Dreieck ist nur die Abkürzung für den linearen Fall.

Super erklärt von Lisa, das Integral ist echt der Schlüssel dazu. Ich häng mal den Steuer-Fall dran, weil das in Klausuren gerne als Erweiterung kommt.

Wenn der Staat eine Mengensteuer t pro Stück erhebt, klafft zwischen Angebots- und Nachfragepreis eine Lücke auf. Du bekommst dann zwei unterschiedliche Preise: den Preis, den Konsumenten zahlen (p_K) und den Preis, den Produzenten tatsächlich erhalten (p_P), mit p_K - p_P = t. Die neue Gleichgewichtsmenge x_t ergibt sich, indem du p_N(x) - p_A(x) = t setzt und nach x auflöst.

Die Renten berechnest du dann genauso wie vorher, nur eben mit den neuen Grenzen:

• KR_neu = Integral von 0 bis x_t über (p_N(x) - p_K) dx
• PR_neu = Integral von 0 bis x_t über (p_P - p_A(x)) dx

Beide Flächen werden kleiner, weil x_t < x*. Das Steueraufkommen ist t · x_t, geometrisch ein Rechteck zwischen p_K und p_P über der Menge x_t.

Der Wohlfahrtsverlust (Deadweight Loss) ist dann der Rest: (KR_alt + PR_alt) - (KR_neu + PR_neu + Steueraufkommen). Grafisch ist das genau das kleine Dreieck zwischen x_t und x*, das durch die Steuer "verloren" geht, weil dort eigentlich noch Tauschgeschäfte stattfinden würden, die sich aber wegen der Steuer nicht mehr lohnen. Merksatz: Je elastischer eine Seite reagiert, desto größer wird dieses Dreieck.

Top, Lisa und Kathi haben das Handwerkszeug ja schon komplett geliefert. Ich häng mal ein kleines Zahlenbeispiel dran, damit man sieht, wie das in der Klausur konkret aussieht, ohne dass ich euch jetzt eine 1:1-Aufgabe vorrechne 😉

Angenommen ihr habt p_N(x) = 100 - 2x und p_A(x) = 10 + 3x gegeben. Schritt für Schritt:

• Gleichgewicht finden: 100 - 2x = 10 + 3x → x* = 18, p* einsetzen → p* = 64.
• Prohibitivpreis der Nachfrage ist a = 100 (Wert bei x=0), Achsenabschnitt des Angebots ist c = 10.
• KR = 0,5 · 18 · (100 - 64) = 0,5 · 18 · 36 = 324
• PR = 0,5 · 18 · (64 - 10) = 0,5 · 18 · 54 = 486

Das sind genau die Werte, die ihr über das Integral auch bekommt, nur eben schneller, weil beide Funktionen linear sind. Typischer Klausurfehler, den ich bei Korrekturen oft sehe: Leute nehmen für PR automatisch die ganze Fläche bis p=0, obwohl die Angebotskurve erst bei c=10 losgeht. Dann kommt eine viel zu große PR raus. Also immer erst schauen, wo die Angebotsgerade die y-Achse schneidet, bevor ihr die Dreiecksformel anwendet. Bei Steuerfällen rechnet ihr einfach mit den neuen Schnittpreisen p_K und p_P genauso weiter, wie Kathi's Beispiel zeigt.