Gewinnfunktion

U(x) = p * x

X = -20p + 2000 nach p umformen und du kannst in der Paramterform weiterrechnen.

Wird aber bei a) nicht benötigt.

Sollte dir eigentlich reichen um weitermachen zu könnnen.

Gruß
Markus

Hi,

ich antworte dir jetzt einmal hier in diesem Thread, ist ja sinnvoller als das alle per PM zu machen.

Gegeben: x = -20p + 2000, K = 15000 + 10p

Umformungen die evtl. nötig sein könnten: -20p=x-2000, p=-(x-2000)/20

a.)

Vorschlag 1:

Primitives einsetzen aufgrund der Bedingung U(x) - K(x)

Deine Kosten betragen K = 15.000 + (10*50) = 15.500. Der Umsatz ist definiert als p * x. p ist gegebene, x ermittelst du durch einsetzen: x= -20*50+2000 = 1000, daraus folgt ein U von 50.000 und ein G von 34.500.

Vorschlag 2:

K(x) und nicht K(p) ermitteln, führt zum gleichen Ergebnis ist aber hier umständlicher.

b.)

Hier ermittelst du die Nullstellen.

U(x) = p *x = -(x-2000)/20 * x = (-(x²-2000x)/20)und dann U(x) = 0

Die ermittelten x-Werte dann in p=-(x-2000)/20 einsetzen. Geht natürlich auch einfacher wenn du gleich mit U(p) rechnest.

c.)

Mit Gewinnoptimum wir hier schätzungsweise das Gewinnmaximum bezeichnet.

Also: G(x) = U(x) - K(x), dann G'(x) = 0, G''(x) < 0, dann x wieder in p=-(x-2000)/20 einsetzen. Ebenfalls ist hier der Weg über G(p) möglich, welcher in deiner Aufgabe hier immer der leichtere ist, typischerweise liegt deine Funktion aber in der Form Gewinn in Abhängigkeit der Menge vor. Rechentechnisch ist dies ziemlich egal.

Gruß
Markus

b)

Exakt. Dies sind eben deine Prohibitivpreise (im weiteren Sinne ), also immer wenn der Preis 0 wird oder die Menge 0 wird, ist ja logisch..

c)

Du setzt gar keine Zahlen ein. Du ermittelst G(x) oder G(p), immer nur ein gleicher Paramter also x bzw. p, es besteht doch sowieso ein direkter Zusammenhang zwischen ihnen deshalb würde G(x,p) nicht viel Sinn machen. Bei deinem Beispiel musst du natürlich jetzt K(p) nach K(x) umformen. Oder du formst U(x) in U(p) um und erhältst dann G(p), das spielt keine Rolle. Den Rest hast du alles richtig erklärt.

Gruß
Markus

Habe es jetzt nicht nachgerechnet aber es passiert genau das was passieren soll. G(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel, also besitzt sie ein Maximum beim Scheitelpunkt. Nachweiss: G'' ist für alle x negativ, also liegt ein relatives Maximum vor.

Gruß
Markus

Was ist denn genau mit gewinnoptimal gemeint? Ich verstehe darunter eben das Gewinnmaximum, und da diese Funktion ein Polynom zweiten Grades ist, kann es auch nur eine Lösung (und nicht zwei Lösungen) geben. Klär' mich auf, dann rechne ich es evtl. nochmal flott durch.

Gruß
Markus

Hier einmal die Komplettrechnung:

[latex]K(p) = 15000+ 10p, U(p)=p \cdot x = p \cdot (-20p+2000) = -20p^2+2000p[/latex]

[latex]G(p)=U(p)-K(p)=-20p^2+2000p-(15000+10p)=-20p^2+1990p-15000[/latex]

[latex]G(50)=-20 \cdot 50^2+1990 \cdot 50 - 15000 = 34500[/latex]

[latex]U(p) = 0, -20p^2+2000p=0, -20p(p-100)=0, p_1=0, p_2=100[/latex]

[latex]G'(p)=-40p+1990[/latex]

[latex]G'(p)=0, -40p+1990=0, p=49,75[/latex]

[latex]G^{''}(p)=-40[/latex]

[latex]G^{''}(49,75)=-40[/latex]

Sollte doch so stimmen nehme ich einmal an. Außer ich hab nen Rechenwurschtler drinnen

Gruß
Markus

Es heisst bei einem Preis von 49.75 ist der Gewinn maximal.

I. Die Bedingung G'(p) = 0 ist erfüllt. Es liegt also ein Extremwert vor.

II. Die Bedingung G''(p) > 0 ist nicht erfüllt, es kann also kein relatives Minimum vorliegen. Die Bedingung G''(p)=0 kann niemals erfüllt sein, es kann sich somit auch um keinen Terassenpunkt handeln. Die Bedingung G''(p)<0 ist aber erfüllt, denn G'' ist für alle Werte von p im Intervall minus unendlich bis plus unendlich -40. D.h. der Ordinatenwert ist unabhängig von p! Also liegt für p = 49,75 ein rel. Maximum vor.

I. ermittelt also deinen Extremwert und II.überprüft ob es sich um ein rel. Minimum od. Maximum handelt. Der spezifische Wert der bei G''(p) rauskommt (hier jetzt -40) ist zu vernachlässigen.

Gruß
Markus