Bedingte Wahrscheinlichkeit – der Satz von Bayes will nicht in meinen Kopf

Der Aha-Effekt kommt fast immer, wenn man von Prozenten auf natürliche Häufigkeiten umsteigt. Rechne nicht mit „99 %“, sondern stell dir 10.000 Leute vor. Nehmen wir an, die Krankheit ist selten (1 %):

• 100 sind krank, davon zeigt der Test 99 richtig positiv an.
• 9.900 sind gesund, aber 1 % Fehlalarm sind trotzdem 99 falsch-positive.

Jetzt kommt der Kern: Von allen positiven Tests (99 + 99 = 198) sind nur die Hälfte wirklich krank → ca. 50 %. Die Grundidee dahinter ist genau die Formel P(A|B) = P(A∩B) / P(B): Du interessierst dich nur für die positiven Fälle (B) und fragst, welcher Anteil davon auch krank ist (A∩B). Merksatz: Ist ein Ereignis selten, erschlagen die vielen falsch-Positiven aus der großen gesunden Gruppe die wenigen echten Treffer.

Marcos Häufigkeitstabelle ist der beste Einstieg. Für die Klausur würde ich es zusätzlich mit einem Baumdiagramm verknüpfen, dann siehst du, woher die Bayes-Formel kommt:

• Erste Verzweigung: krank / gesund (die Vortest-Wahrscheinlichkeit).
• Zweite Verzweigung je Ast: Test positiv / negativ.

Der Nenner der Bayes-Formel ist nichts anderes als die Summe aller Pfade, die zu „positiv“ führen (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit). Wenn du mit natürlichen Häufigkeiten rechnest, ist dieser Nenner automatisch deine Gesamtzahl der Positiven – du musst dir die Formel dann gar nicht merken, sie fällt aus dem Baum heraus. Zeichne den Baum einmal selbst mit deinen Zahlen, dann klickt es.