Bedingte Wahrscheinlichkeit – der Satz von Bayes will nicht in meinen Kopf

TimDual

Hi Leute, ich beiße mir gerade an der bedingten Wahrscheinlichkeit die Zähne aus. Besonders der Satz von Bayes will einfach nicht rein. Im Übungsbeispiel geht es um einen medizinischen Test, der zu 99 % korrekt anzeigt – und trotzdem soll ein positives Ergebnis am Ende nur wenig aussagen. Das fühlt sich total unlogisch an 🤯

Kann mir jemand die Grundidee erklären, ohne dass ich nur stur die Formel auswendig lerne?

Mathe_Marco

Der Aha-Effekt kommt fast immer, wenn man von Prozenten auf natürliche Häufigkeiten umsteigt. Rechne nicht mit „99 %“, sondern stell dir 10.000 Leute vor. Nehmen wir an, die Krankheit ist selten (1 %):

100 sind krank, davon zeigt der Test 99 richtig positiv an.
9.900 sind gesund, aber 1 % Fehlalarm sind trotzdem 99 falsch-positive.

Jetzt kommt der Kern: Von allen positiven Tests (99 + 99 = 198) sind nur die Hälfte wirklich krank → ca. 50 %. Die Grundidee dahinter ist genau die Formel P(A|B) = P(A∩B) / P(B): Du interessierst dich nur für die positiven Fälle (B) und fragst, welcher Anteil davon auch krank ist (A∩B). Merksatz: Ist ein Ereignis selten, erschlagen die vielen falsch-Positiven aus der großen gesunden Gruppe die wenigen echten Treffer.

RobertM

Marcos Häufigkeitstabelle ist der beste Einstieg. Für die Klausur würde ich es zusätzlich mit einem Baumdiagramm verknüpfen, dann siehst du, woher die Bayes-Formel kommt:

Erste Verzweigung: krank / gesund (die Vortest-Wahrscheinlichkeit).
Zweite Verzweigung je Ast: Test positiv / negativ.

Der Nenner der Bayes-Formel ist nichts anderes als die Summe aller Pfade, die zu „positiv“ führen (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit). Wenn du mit natürlichen Häufigkeiten rechnest, ist dieser Nenner automatisch deine Gesamtzahl der Positiven – du musst dir die Formel dann gar nicht merken, sie fällt aus dem Baum heraus. Zeichne den Baum einmal selbst mit deinen Zahlen, dann klickt es.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – der Satz von Bayes will nicht in meinen Kopf

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