Stichprobenumfang berechnen – wie groß muss n für eine gewünschte Genauigkeit sein?

TimDual

Sitze gerade an einer Statistik-Übungsaufgabe aus der Klausurvorbereitung und komm an einem Punkt nicht weiter. Aufgabenstellung sinngemäß: Für ein Konfidenzintervall soll die Fehlerbreite (Halbbreite) maximal einen bestimmten Wert e betragen, bei einem vorgegebenen Konfidenzniveau. Gefragt ist der dafür nötige Mindeststichprobenumfang n.

Mein Problem: Die Formel, die ich kenne, braucht die Standardabweichung der Grundgesamtheit (sigma), aber die ist hier nicht gegeben – nur ein Schätzwert aus einer Vorstichprobe bzw. gar nichts. Ich hab bisher folgende Ansätze im Kopf:

Z-Wert aus dem Konfidenzniveau ablesen (z. B. 1,96 bei 95%)
n = (z * sigma / e)^2 – aber eben mit unbekanntem sigma
Irgendwo hab ich gelesen, dass man notfalls eine konservative Schätzung für sigma nimmt oder mit der Spannweite arbeitet (Faustregel sigma ≈ Spannweite/4 oder so?)

Ist das der übliche Weg, wenn sigma nicht bekannt ist? Oder sollte man stattdessen mit der t-Verteilung und einem geschätzten s arbeiten, auch wenn man n ja gerade erst bestimmen will (quasi ein Henne-Ei-Problem)? Wie geht ihr da systematisch vor?

LisaVWL

Das Henne-Ei-Problem ist tatsächlich der Grund, warum man in der Praxis fast immer mit z statt mit t arbeitet, auch wenn sigma unbekannt ist. Begründung: Die t-Verteilung hängt über die Freiheitsgrade von n ab, das willst du ja gerade erst bestimmen. Also nimmt man den z-Wert aus der Normalverteilung und ersetzt sigma durch eine Vorab-Schätzung s (aus einer Pilotstudie, historischen Daten oder eben der Spannweitenregel). Das Ergebnis ist eine Näherung, aber für die Fallzahlplanung ausreichend genau.

Dein Formelansatz ist richtig:

n = (z · s / e)^2
z aus dem gewünschten Konfidenzniveau (z. B. 1,96 für 95%)
s als bester verfügbarer Schätzwert für sigma
e als maximal zulässige Halbbreite des Konfidenzintervalls

Zur Spannweitenregel: sigma ≈ Spannweite/4 ist eine grobe Faustregel, die auf der Normalverteilung basiert (ca. 95% der Werte liegen innerhalb von ±2 sigma). Teilweise liest man auch /6, je nach Quelle und angenommenem Stichprobenumfang. Ich würde das nur als Notlösung nehmen, wenn wirklich keine Varianzschätzung verfügbar ist.

Wichtig: Am Ende immer aufrunden, nicht kaufmännisch runden. Wenn n = 134,2 rauskommt, brauchst du n = 135, sonst unterschreitest du die geforderte Genauigkeit.

Mathe_Marco

Passt alles, was Lisa schreibt, ich häng noch ne kleine Beispielrechnung dran, damit's greifbarer wird. Angenommen z = 1,96 (95%), s = 20 (geschätzt), e soll maximal 5 sein:

n = (1,96 · 20 / 5)^2 = (7,84)^2 ≈ 61,5 → aufgerundet n = 62.

Jetzt der Punkt, an dem ich schon öfter Leute (und mich selbst 😅) hab stolpern sehen: Was genau ist e eigentlich? Viele verwechseln die Halbbreite (Abstand vom Mittelwert zur Grenze) mit der gesamten Breite des Konfidenzintervalls. Wenn in der Aufgabe steht "das KI soll eine Breite von 10 haben", dann ist e = 5, nicht 10! Das verfälscht dir sonst den n-Wert um den Faktor 4, weil e im Quadrat steht.

Fehlerbreite/Halbbreite e → direkt einsetzen
Gesamtbreite des KI → erst durch 2 teilen, dann einsetzen

Zweiter Klassiker: z und e müssen zur selben "Skala" passen – wenn du mit Prozentwerten arbeitest (z. B. Anteilsschätzung), nimmst du natürlich p(1-p) statt sigma², aber das Prinzip mit dem Aufrunden bleibt exakt gleich. Lieber einmal zu viel befragen/messen als das Konfidenzniveau zu verfehlen 📐

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