Matrixinversion mit Gauß-Jordan – wie erkenne ich, ob es überhaupt geht?

TimDual

Sitze gerade an Übungsaufgaben zur Matrixinversion mit Gauß-Jordan (3x3) für die nächste Klausur und bin bei einer Aufgabe hängen geblieben. Beim Umformen der erweiterten Matrix [A|E] bekomme ich irgendwann eine komplette Nullzeile auf der linken Seite.

Jetzt meine Frage: Heißt das zwangsläufig, dass A nicht invertierbar ist, oder kann das auch durch einen Rechenfehler bei mir entstanden sein? Und gibt es eine schnelle Methode, das vorher zu checken, ohne die komplette Rechnung durchzuziehen?

Was ich bisher weiß bzw. vermute:

Determinante berechnen und schauen, ob sie null ist – aber bei 3x3 ist mir das über Sarrus fast genauso viel Aufwand wie die Gauß-Jordan-Rechnung selbst
Rang der Matrix bestimmen – aber wie schnell geht das wirklich ohne Umformung?
Vielleicht gibt es ja Anzeichen, an denen man das einer Matrix schon ansieht, z. B. wenn eine Zeile ein Vielfaches einer anderen ist?

Wie geht ihr da ran, bevor ihr euch durch die ganze Rechnung quält?

Mathe_Marco

Hi TimDual, kurze Antwort vorab: Nein, das ist kein Zufallsprodukt eines Rechenfehlers (auch wenn man das natürlich nie 100%ig ausschließen sollte 😅). Wenn du bei Gauß-Jordan sauber umformst und am Ende trotzdem eine komplette Nullzeile links stehen hast, dann ist A tatsächlich nicht invertierbar. Der Grund: Gauß-Jordan verändert ja den Rang der Matrix nicht (nur elementare Zeilenumformungen), und eine Nullzeile bedeutet, dass der Rang kleiner als 3 ist – also kein voller Rang, also singulär, also det(A)=0.

Zum Vorab-Check: Du musst die Determinante nicht immer komplett über Sarrus ausrechnen. Ein paar Dinge, die man sich wirklich "ansehen" kann, bevor man überhaupt loslegt:

Sind zwei Zeilen (oder Spalten) identisch oder Vielfache voneinander? Dann ist det=0, sofort erkennbar.
Ist eine Zeile die Summe/Linearkombination zweier anderer? Etwas schwerer zu sehen, aber bei kleinen Zahlen oft machbar.
Gibt's eine Nullzeile oder Nullspalte von Anfang an? Dann logischerweise auch nicht invertierbar.

Mein Tipp aus der Praxis: Ich rechne trotzdem meistens einfach drauflos mit Gauß-Jordan, weil ich die Umformungen ohnehin für die Inverse brauche. Taucht unterwegs eine Nullzeile auf, breche ich ab und weiß: fertig, nicht invertierbar, spart Zeit. Sarrus vorher extra rechnen ist für mich meistens doppelte Arbeit, außer die Matrix hat offensichtliche Strukturen wie oben genannt. 😉

Matrixinversion mit Gauß-Jordan – wie erkenne ich, ob es überhaupt geht?

Jetzt mitmachen!

Letzte Beiträge

Matrixinversion mit Gauß-Jordan – wie erkenne ich, ob es überhaupt geht? 1

Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen – wie interpretiere ich sie anschaulich? 3

Taylorreihe zur Näherung – wie viele Glieder reichen für eine gute Genauigkeit? 3

Partialbruchzerlegung bei der Integration – wie finde ich den Ansatz schnell? 2

Newton-Verfahren zur Nullstellensuche – wie wähle ich den Startwert sinnvoll? 3

Lineares Gleichungssystem mit Parameter lösen – wie bestimme ich, wann es lösbar ist? 2

Gauß-Algorithmus - wann hat ein LGS unendlich viele Lösungen? 3

Rang einer Matrix bestimmen – wie finde ich ihn möglichst schnell? 2

Multikollinearität in der Regression – woran erkenne ich sie, und was mache ich dagegen? 14

Standardabweichung vs. Varianz – wofür brauche ich eigentlich beides? 2

Matrixinversion mit Gauß-Jordan – wie erkenne ich, ob es überhaupt geht?

Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen – wie interpretiere ich sie anschaulich?

Taylorreihe zur Näherung – wie viele Glieder reichen für eine gute Genauigkeit?

Partialbruchzerlegung bei der Integration – wie finde ich den Ansatz schnell?

Newton-Verfahren zur Nullstellensuche – wie wähle ich den Startwert sinnvoll?

Über Study-Board.de