Stetigkeit vs. Differenzierbarkeit – reicht die Betragsfunktion als Gegenbeispiel?

TimDual

Ich sitze gerade an der Klausurvorbereitung zum Thema Stetigkeit und Differenzierbarkeit und will das Standardbeispiel f(x) = |x| an der Stelle x=0 sauber begründen können. Mein Verständnis bisher:

Stetig ist die Funktion, weil links- und rechtsseitiger Grenzwert sowie Funktionswert bei 0 übereinstimmen.
Nicht differenzierbar, weil der linksseitige Differenzenquotient gegen -1 und der rechtsseitige gegen +1 läuft, also kein eindeutiger Grenzwert existiert.

Reicht diese Argumentation für eine Klausur aus oder wird da meistens noch mehr erwartet, z. B. die formale Definition über den Differenzenquotienten explizit hinschreiben?

Und dann meine eigentliche Frage: Gibt es noch ein anderes typisches Gegenbeispiel, das in Klausuren gerne gefragt wird, außer der Betragsfunktion? Ich hab mal was von Funktionen mit Knick bei stückweiser Definition gehört, aber auch sowas wie die Wurzelfunktion im Zusammenhang mit senkrechter Tangente. Wäre das auch ein klassisches Beispiel, das man kennen sollte, oder ist das eher ein anderer Fall (Differenzierbarkeit vs. unendliche Steigung)?

Mathe_Marco

Deine Argumentation ist inhaltlich schon genau der Kern der Sache, Tim. Für die Klausur würde ich aber wirklich empfehlen, den Differenzenquotienten explizit hinzuschreiben, also lim (f(x)-f(0))/(x-0) für x→0+ und x→0-, und dann zu zeigen, dass die beiden Grenzwerte -1 und +1 sind. Viele Punkte gibt's erfahrungsgemäß genau für diese formale Darstellung, nicht nur fürs "ich weiß, dass es nicht klappt".

Zur Anschauung: Stell dir die Betragsfunktion als zwei Geradenstücke vor, die bei x=0 zusammentreffen wie ein Dach bzw. umgedrehtes V. Links davon hat die Gerade Steigung -1, rechts Steigung +1. Eine Ableitung an einer Stelle ist ja nix anderes als "die eine, eindeutige Tangentensteigung dort". Bei einem Knick gibt's aber keine eindeutige Tangente – du könntest an der Spitze gedanklich unendlich viele Geraden anlegen, die zwischen Steigung -1 und +1 liegen, keine davon "passt" eindeutig. Deswegen bricht die Differenzierbarkeit zusammen, obwohl die Funktion stetig bleibt (kein Sprung, keine Lücke).

Zur Wurzelfunktion: Das ist tatsächlich ein anderer Fall! Da hast du keinen Knick, sondern der Differenzenquotient geht gegen +∞ (senkrechte Tangente bei x=0). Auch nicht differenzierbar, aber aus einem anderen Grund – lohnt sich, den Unterschied in eigenen Worten parat zu haben, das wird gern als Transferfrage gestellt. 😉

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