Lineares Gleichungssystem mit Parameter lösen – wie bestimme ich, wann es lösbar ist?

Hey TimDual, dein Instinkt mit der Determinante ist schon mal goldrichtig, aber die liefert dir nur die halbe Wahrheit. Die Determinante sagt dir nur: ja/nein eindeutig lösbar. Für die Unterscheidung "unendlich viele" vs. "keine Lösung" musst du zwingend in den Rang-Keller gehen 🙂

Mein Vorgehen ist immer das gleiche Schema:

• Erst Determinante der Koeffizientenmatrix berechnen (als Funktion von a).
• Ist det ≠ 0 für ein bestimmtes a → eindeutige Lösung für alle a außer den Nullstellen der Determinante. Das ist der einfache Fall.
• Für die kritischen a-Werte (also die Nullstellen von det(A)) musst du dann konkret mit diesem Wert in dein LGS reingehen und per Gauß weiterrechnen.
• Jetzt vergleichst du Rang(A) mit Rang(A|b) – der erweiterten Matrix inklusive rechter Seite.

Merksatz dazu:

• Rang(A) = Rang(A|b) = n (volle Anzahl Unbekannte) → eindeutige Lösung
• Rang(A) = Rang(A|b) < n → unendlich viele Lösungen
• Rang(A) < Rang(A|b) → keine Lösung (Widerspruchszeile, meist sowas wie 0 = 5)

Typischer Fehler: Viele brechen den Gauß ab, sobald eine Zeile komplett null wird, und schließen daraus vorschnell "unendlich viele Lösungen" – ohne zu prüfen, ob die rechte Seite in der gleichen Zeile wirklich auch null ist. Genau da trennt sich bei Parameteraufgaben oft der eine kritische a-Wert in zwei Unterfälle auf (z.B. a=2 gibt unendlich viele, aber a=-2 gibt keine Lösung, obwohl beide die Determinante null machen). Also: nach dem Finden der Nullstellen von det(A) jeden Wert einzeln einsetzen und nochmal sauber durchrechnen, nicht pauschal urteilen.

Marco hat das eigentlich schon super erklärt, ich ergänz mal mit nem kleinen Mini-Beispiel, damit's greifbarer wird (ohne jetzt eure konkrete Aufgabe zu lösen).

Stell dir vor, du hast nach dem Gauß-Schritt irgendwann eine Zeile wie (a-3) · z = a-3 stehen. Genau an diesem Punkt merkst du: da ist der kritische Wert, nämlich a=3, weil du sonst durch null teilen würdest.

• Für a ≠ 3 darfst du einfach durch (a-3) teilen, z = 1, und das System ist eindeutig lösbar.
• Für a = 3 wird die Zeile zu 0 · z = 0 → das ist erfüllt für jedes z, also potentiell unendlich viele Lösungen (Rang < n).
• Hättest du stattdessen z.B. (a-3) · z = a-1, dann ergibt a=3 die Zeile 0 · z = 2, also einen Widerspruch → keine Lösung.

Das ist genau der Punkt, den Marco mit den zwei Unterfällen meinte: die Nullstelle der Determinante zeigt dir nur, wo's "kritisch" wird – was dann wirklich passiert (unendlich viele oder gar keine), hängt davon ab, ob auch die rechte Seite in dieser Zeile null wird oder nicht.

Ich lern sowas übrigens immer am liebsten mit anderen zusammen, weil man sich bei den Fallunterscheidungen gegenseitig gut kontrollieren kann – allein übersieht man schnell mal den zweiten Fall.