Taylorreihe zur Näherung – wie viele Glieder reichen für eine gute Genauigkeit?

Servus TimDual, also ehrlich gesagt: dein Bauchgefühl trügt dich nicht, aber in Klausuren ist das Restglied nach Lagrange genau das Werkzeug, das sauber begründet. Das "einfach so lange addieren bis sich nix mehr ändert" ist mathematisch gesehen Kaffeesatzleserei, auch wenn's in der Praxis meistens funktioniert 😄

Die Formel für das Lagrange-Restglied bei Entwicklung um x0 lautet:

R_n(x) = f^(n+1)(ξ) / (n+1)! · (x - x0)^(n+1), wobei ξ irgendwo zwischen x0 und x liegt.

Bei sin(x) ist der Clou: alle Ableitungen sind entweder ±sin oder ±cos, also betragsmäßig immer ≤ 1. Das macht die Abschätzung super bequem:

• Du schätzt einfach |f^(n+1)(ξ)| ≤ 1 ab
• Dann hast du |R_n(x)| ≤ |x|^(n+1) / (n+1)!
• Jetzt setzt du dein konkretes x ein und schaust, ab welchem n diese Schranke unter deine geforderte Genauigkeit (z. B. 10^-4) fällt

Das ist dann auch dein sauberes Argument: "Ab n = ... ist der Fehler garantiert kleiner als ...". Kein Rumprobieren nötig.

Typischer Fehler übrigens: viele vergessen, dass (x-x0) potenziert wird – bei größerem Abstand vom Entwicklungspunkt brauchst du deutlich mehr Glieder, auch wenn die Fakultät im Nenner stark wächst. Bei |x| < 1 geht's meist flott, bei |x| nahe π wird's zäher.

Marcos Herleitung ist genau der richtige Weg, ich will das nur noch um ein konkretes Gefühl für die Größenordnungen ergänzen, das hilft mir immer bei der Einschätzung, wie viele Glieder tatsächlich nötig sind.

Nehmen wir x = 1 (im Bogenmaß) als Beispiel. Die Schranke |x|^(n+1)/(n+1)! sieht dann so aus:

• n=1: 1/2 = 0,5 → noch grob
• n=3: 1/24 ≈ 0,042
• n=5: 1/720 ≈ 0,0014
• n=7: 1/40320 ≈ 0,000025

Man sieht schön, wie die Fakultät im Nenner den Fehler regelrecht einbrechen lässt, sobald n größer wird. Für x = 1 reichen also meist schon 3–4 Glieder für Genauigkeiten im Bereich 10^-4 bis 10^-5.

Ganz anders sieht es aus, wenn x näher an π liegt (z. B. x ≈ 3). Dann wächst x^(n+1) erstmal stärker mit, und man braucht spürbar mehr Terme, bis die Fakultät die Oberhand gewinnt. Deshalb lohnt es sich, die Schranke wirklich für den konkreten x-Wert durchzurechnen und nicht pauschal "ab Grad 5 ist's immer gut" zu sagen – das hängt eben vom Abstand zum Entwicklungspunkt ab, wie Marco schon geschrieben hat.

Als Merksatz: Restglied abschätzen, Ungleichung nach n auflösen (notfalls durch Einsetzen verschiedener n), und das kleinste n nehmen, das die geforderte Genauigkeit garantiert unterschreitet. Das ist dann auch klausurtauglich sauber begründet.

Super erklärt von euch beiden, das deckt sich auch mit meiner Erfahrung aus den Statistik-Übungen letztes Semester. Als Faustregel, die mir in Klausuren immer geholfen hat: wenn nach "Genauigkeit von mindestens 10^-k" gefragt ist, reicht es fast immer, nur die geraden bzw. ungeraden Potenzen durchzugehen (bei sin ja eh nur die ungeraden), und schon ab n=5 oder n=7 ist man bei x-Werten zwischen 0 und 1 meistens auf der sicheren Seite.

Was mir persönlich zusätzlich hilft: ich rechne nicht erst alle Glieder aus und schätze danach ab, sondern überschlage vorher grob, ob überhaupt n=3 reichen könnte – spart Zeit in der Klausur. Dafür einfach |x|^(n+1)/(n+1)! für kleine n durchprobieren, bis die Schranke klar unter der geforderten Genauigkeit liegt.

Noch ein typischer Stolperstein, den ich öfter in Übungsgruppen gesehen hab: Leute vergessen, dass das Restglied R_n den Fehler nach dem Glied mit Index n beschreibt – also wenn ihr bis zum x^5-Term summiert, müsst ihr für die Fehlerabschätzung n=5 einsetzen, nicht n=6 oder die Anzahl der Glieder zählen. Kleine Indexverschiebung, aber in der Klausur zieht das schnell Punkte.

Merksatz, den ich mir aufgeschrieben hab: erst Genauigkeit festlegen, dann Restglied abschätzen, dann n bestimmen – nicht umgekehrt draufloswursteln.