Bestimmtheitsmaß R² bei linearer Regression – wie interpretiere ich den Wert richtig?

Deine Interpretation ist schon richtig: R²=0,62 bedeutet, dass 62% der Streuung (Varianz) der abhängigen Variable durch die im Modell enthaltenen Regressoren erklärt werden, die restlichen 38% gehen auf nicht erfasste Einflüsse oder Zufall zurück. Mehr darf man da aber auch nicht reininterpretieren, insbesondere sagt R² nichts über Kausalität oder die Signifikanz einzelner Koeffizienten aus.

Zu festen Grenzwerten: Davon würde ich grundsätzlich abraten, das ist stark kontextabhängig.

• Bei Querschnittsdaten in den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften sind R²-Werte von 0,2-0,4 oft schon als brauchbar einzustufen, weil menschliches Verhalten sehr heterogen ist.
• Bei technischen/physikalischen Zusammenhängen oder Zeitreihen mit starkem Trend erwartet man dagegen oft R² über 0,9, weil die Beziehungen deterministischer sind.

Deshalb würde ich in einer Klausur nie pauschal "gut" oder "schlecht" sagen, sondern immer relativ zum Anwendungsfall argumentieren und idealerweise mit Vergleichswerten aus der Literatur oder ähnlichen Modellen begründen.

Zum korrigierten R²: Ja, bei multipler Regression unbedingt darauf schauen, da das normale R² durch Hinzufügen weiterer Regressoren praktisch nie sinkt, auch wenn diese keinen echten Erklärungsgehalt haben. Das korrigierte R² bestraft das über einen Freiheitsgradabzug und ist daher beim Modellvergleich die fairere Kennzahl.

Lisa hat das schon sauber erklärt, ich ergänz mal die Formel-Brille dazu, weil mir das immer hilft, den Wert nicht misszuverstehen. R² ist ja definiert als

R² = 1 - (SSR / SST)

wobei SSR die Residuenquadratsumme ist (Σ(y_i - ŷ_i)²) und SST die Gesamtstreuung (Σ(y_i - ȳ)²). Anschaulich: SST ist die gesamte "Unordnung" in deinen y-Werten um den Mittelwert, SSR ist das, was dein Modell nicht wegerklären konnte, also der Rest-Fehler. Wenn dein Modell perfekt wäre, wäre SSR = 0 und R² = 1. Wenn dein Modell gar nichts erklärt (einfach immer ȳ vorhersagt), ist SSR = SST und R² = 0. Bei dir: SSR/SST = 0,38, also bleiben 38% der quadrierten Abweichungen als Residuen übrig – genau die "nicht erklärte" Varianz, die Lisa schon angesprochen hat.

Praktischer Tipp fürs Verständnis: schau dir mal den Scatterplot von y gegen ŷ an. Je enger die Punkte um die 45°-Linie liegen, desto höher R². Das macht den abstrakten Varianzanteil oft greifbarer als die reine Formel 😄

Und als Merksatz: R² sagt was über die Streuungserklärung, nicht über die Richtigkeit der Modellform – ein falsch spezifiziertes Modell (z.B. linear statt quadratisch) kann trotzdem ein hohes R² haben, aber trotzdem Mist sein. Also immer auch Residuenplot checken, nicht nur die Kennzahl anstarren.

Ergänze mal aus dem Controlling-Alltag, weil wir sowas ja auch ständig bei Kostenfunktionen brauchen, z.B. wenn ich die Fertigungsgemeinkosten als Funktion der Maschinenstunden schätze (klassische Kostenauflösung mit Regression statt Mathematische-Methode der kleinsten Quadrate im Lehrbuch). Da bin ich tatsächlich froh, wenn ich über R²=0,8 komme, weil ich im Reporting ja eine halbwegs verlässliche Plankostenfunktion für die nächsten Monate brauche. Alles unter 0,5 würde ich meinem Bereichsleiter nicht als Basis für Budgetierung verkaufen wollen 😅

Was mir aber in der Praxis noch wichtiger ist als der reine R²-Wert: die Stabilität über mehrere Perioden. Ein Modell, das im Januar R²=0,85 hat und im Februar auf 0,4 abstürzt, ist für mich wertloser als eins, das konstant bei 0,65 liegt. Also auch mal die Regression auf rollierender Basis rechnen und schauen, ob R² zappelig ist – das sagt oft mehr über die Praxistauglichkeit als der Einzelwert.

Und zu Lisas Punkt mit dem korrigierten R²: bei uns kommt bei multiplen Kostentreibern (Maschinenstunden, Materialeinsatz, Losgröße...) öfter mal die Versuchung auf, einfach noch eine Variable reinzuwerfen, weil's R² pusht. Da hilft das korrigierte R² echt, um nicht Opfer von Overfitting zu werden – gerade wenn man mit wenigen Datenpunkten (z.B. nur 12 Monatswerte) arbeitet, ist das schnell passiert.