Poisson-Verteilung: Woran erkenne ich in der Aufgabe, dass ich die nehmen soll und nicht die Binomialverteilung?

Moin,

Statistik 2, Aufgabe: „In einem Callcenter gehen im Durchschnitt 3 Anrufe pro 5 Minuten ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Minuten höchstens 2 Anrufe eingehen? Und dass in 10 Minuten gar kein Anruf kommt?“

Laut Lösung ist das Poisson. Aber warum? Es gibt doch auch „Anruf ja/nein“, das klingt für mich nach Binomial. Und bei den 10 Minuten weiß ich nicht, was ich mit dem λ machen soll. Die Formel habe ich, mir fehlt nur das Verständnis. 😬

Der Knackpunkt: Für die Binomialverteilung brauchst du ein festes n – eine bekannte Anzahl von Versuchen, bei denen jeweils Treffer/kein Treffer herauskommt. Beim Callcenter gibt es kein n: Wie viele „Versuche“ hat man in 5 Minuten? Unendlich viele Augenblicke, in denen ein Anruf kommen könnte. Was du hast, ist eine durchschnittliche Rate pro Zeiteinheit. Das ist das Signal für Poisson.

Signalwörter: „im Durchschnitt … pro Stunde/Minute/Seite/Quadratmeter“, zählbare Ereignisse in einem Intervall, keine Obergrenze.

Formel: P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!, mit E(X) = Var(X) = λ.

Teil a) λ = 3 (pro 5 Minuten), e^(−3) ≈ 0,0498:

• P(X = 0) = e^(−3) ≈ 0,0498
• P(X = 1) = 3 · e^(−3) ≈ 0,1494
• P(X = 2) = 9/2 · e^(−3) ≈ 0,2240
• P(X ≤ 2) = e^(−3) · (1 + 3 + 4,5) ≈ 0,4232

Teil b) Hier liegt der Trick: λ skaliert mit dem Intervall. 3 pro 5 Minuten heißt 6 pro 10 Minuten. Also P(X = 0) = e^(−6) ≈ 0,0025. Die Verteilung selbst bleibt Poisson, nur der Parameter passt sich an.

Merksatz: Festes n und Treffer/Niete → Binomial. Rate pro Intervall ohne festes n → Poisson. Intervall ändert sich → λ mitskalieren.

Und die Verbindung zur Binomialverteilung gibt es tatsächlich: Poisson ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei großem n und kleinem p, mit λ = n · p. Deshalb nennt man sie auch Verteilung der seltenen Ereignisse.

Beispiel aus der Qualitätskontrolle, wie wir sie im Wirtschaftsingenieurwesen hatten: 200 Teile, Ausschussquote 1 %. Gefragt: P(kein Ausschuss).

• Exakt binomial: 0,99^(200) ≈ 0,1340
• Poisson mit λ = 200 · 0,01 = 2: e^(−2) ≈ 0,1353

Fast gleich, und mit Poisson rechnet es sich viel leichter. Übliche Faustregel für die Näherung: n ≥ 50 und p ≤ 0,1 (manche Skripte haben leicht andere Grenzen – nimm die aus deinem).

Für die Klausur noch die Annahmen hinter Poisson, die manchmal als Textfrage kommen: Ereignisse treten unabhängig voneinander auf, die Rate ist konstant, und zwei Ereignisse fallen nicht exakt zusammen. Beim Callcenter ist das zur Mittagszeit oder nach einer Werbeaktion übrigens fraglich, weil die Rate dann schwankt. Genau so etwas lässt sich gut kritisch anmerken.