Poisson-Verteilung: Woran erkenne ich in der Aufgabe, dass ich die nehmen soll und nicht die Binomialverteilung?

Der Knackpunkt: Für die Binomialverteilung brauchst du ein festes n – eine bekannte Anzahl von Versuchen, bei denen jeweils Treffer/kein Treffer herauskommt. Beim Callcenter gibt es kein n: Wie viele „Versuche“ hat man in 5 Minuten? Unendlich viele Augenblicke, in denen ein Anruf kommen könnte. Was du hast, ist eine durchschnittliche Rate pro Zeiteinheit. Das ist das Signal für Poisson.

Signalwörter: „im Durchschnitt … pro Stunde/Minute/Seite/Quadratmeter“, zählbare Ereignisse in einem Intervall, keine Obergrenze.

Formel: P(X = k) = λ^k · e^(−λ) / k!, mit E(X) = Var(X) = λ.

Teil a) λ = 3 (pro 5 Minuten), e^(−3) ≈ 0,0498:

• P(X = 0) = e^(−3) ≈ 0,0498
• P(X = 1) = 3 · e^(−3) ≈ 0,1494
• P(X = 2) = 9/2 · e^(−3) ≈ 0,2240
• P(X ≤ 2) = e^(−3) · (1 + 3 + 4,5) ≈ 0,4232

Teil b) Hier liegt der Trick: λ skaliert mit dem Intervall. 3 pro 5 Minuten heißt 6 pro 10 Minuten. Also P(X = 0) = e^(−6) ≈ 0,0025. Die Verteilung selbst bleibt Poisson, nur der Parameter passt sich an.

Merksatz: Festes n und Treffer/Niete → Binomial. Rate pro Intervall ohne festes n → Poisson. Intervall ändert sich → λ mitskalieren.

Und die Verbindung zur Binomialverteilung gibt es tatsächlich: Poisson ist die Grenzverteilung der Binomialverteilung bei großem n und kleinem p, mit λ = n · p. Deshalb nennt man sie auch Verteilung der seltenen Ereignisse.

Beispiel aus der Qualitätskontrolle, wie wir sie im Wirtschaftsingenieurwesen hatten: 200 Teile, Ausschussquote 1 %. Gefragt: P(kein Ausschuss).

• Exakt binomial: 0,99^(200) ≈ 0,1340
• Poisson mit λ = 200 · 0,01 = 2: e^(−2) ≈ 0,1353

Fast gleich, und mit Poisson rechnet es sich viel leichter. Übliche Faustregel für die Näherung: n ≥ 50 und p ≤ 0,1 (manche Skripte haben leicht andere Grenzen – nimm die aus deinem).

Für die Klausur noch die Annahmen hinter Poisson, die manchmal als Textfrage kommen: Ereignisse treten unabhängig voneinander auf, die Rate ist konstant, und zwei Ereignisse fallen nicht exakt zusammen. Beim Callcenter ist das zur Mittagszeit oder nach einer Werbeaktion übrigens fraglich, weil die Rate dann schwankt. Genau so etwas lässt sich gut kritisch anmerken.

Guter Punkt von Robert mit der Grenzwertbeziehung, das ist echt oft klausurrelevant als Verständnisfrage. Ich pack noch ne kleine Eselsbrücke drauf, die mir früher geholfen hat, die beiden auseinanderzuhalten:

Stell dir bei Binomial immer eine Urne oder eine Liste vor, die du abzählen kannst: 200 Bauteile, 50 Würfe, 30 Kunden. Du könntest die Versuche theoretisch durchnummerieren und jeden einzeln als Treffer/Niete markieren. Wenn du das nicht kannst, weil es kein „Los Nummer 1 bis n“ gibt, sondern nur einen Strom von Ereignissen über die Zeit (oder Fläche, oder Länge), dann bist du bei Poisson.

Frag dich also ganz stur:

• Kann ich n konkret hinschreiben? („Wie oft wurde überhaupt ‚gezogen‘?“) → wenn ja: Binomial
• Steht in der Aufgabe nur eine Rate wie „im Schnitt X pro Zeiteinheit/Fläche“ ohne erkennbares n? → Poisson

Typischer Fehler in Klausuren: Leute sehen „Wahrscheinlichkeit dass X Ereignisse eintreten“ und greifen reflexhaft zu Binomial, weil das zuerst gelernt wurde. Aber ohne festes n und ohne p pro Einzelversuch fehlt dir einfach die Grundlage dafür – dann bleibt nur die Rate λ als Parameter, und das ist Poisson pur. 😄