Lorenzkurve und Gini-Koeffizient – wie lese ich die Kurve, und was sagt der Wert wirklich aus?

Gern 🙂 Fangen wir mit den Achsen an, weil dort schon der halbe Verständnisgewinn steckt:

• x-Achse: kumulierter Anteil der Bevölkerung – aufsteigend nach Einkommen sortiert. Ganz links stehen also die Ärmsten.
• y-Achse: kumulierter Anteil des gesamten Einkommens, der auf diesen Bevölkerungsanteil entfällt.

Die Sortierung ist der entscheidende Schritt: Nur deshalb kann die Kurve gar nicht anders, als unterhalb der Diagonalen zu verlaufen und dabei immer steiler zu werden.

Die 45-Grad-Linie ist die Gleichverteilung: 20 % der Leute haben 20 % des Einkommens, 50 % haben 50 %. Je weiter die tatsächliche Kurve nach unten durchhängt, desto ungleicher ist verteilt.

Ablesen funktioniert direkt als Satz: Gehst du bei x = 0,5 hoch und triffst die Kurve bei y = 0,25, heißt das „die einkommensschwächere Hälfte der Bevölkerung erhält 25 % des Gesamteinkommens“. Genau diese Formulierung wollen Aufgaben meistens hören.

Der Gini-Koeffizient presst diesen Durchhang in eine Zahl:

• Gini = Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve geteilt durch die gesamte Dreiecksfläche unter der Diagonalen.
• 0 bedeutet vollkommene Gleichverteilung (die Kurve liegt auf der Diagonalen), 1 maximale Konzentration (einer hat alles).

Zur Einordnung: Verfügbare Haushaltseinkommen liegen in Westeuropa typischerweise grob im Bereich 0,25 bis 0,35, sehr ungleiche Länder deutlich darüber. 0,5 ist also ein großer Unterschied zu 0,3 – aber Vorsicht, vergleichbar sind Werte nur, wenn dieselbe Einkommensart gemeint ist.

Kathis Herleitung passt – ich hänge die Feinheiten dran, mit denen man in mündlichen Prüfungen punktet, weil sie zeigen, dass man die Kennzahl nicht nur ausrechnen kann:

• Eine Zahl kann nicht alles abbilden. Zwei völlig verschiedene Verteilungen können denselben Gini haben – nämlich immer dann, wenn sich ihre Lorenzkurven schneiden. Nur wenn eine Kurve komplett unterhalb der anderen liegt, ist die Aussage „eindeutig ungleicher“ sauber (Stichwort Lorenz-Dominanz).
• Der Gini reagiert am stärksten auf Veränderungen in der Mitte der Verteilung und relativ schwach auf die Ränder. Deshalb ergänzt man ihn gern um das S80/S20-Verhältnis (oberstes zu unterstem Fünftel) oder die Armutsgefährdungsquote.
• Vor oder nach Umverteilung? Der Gini der Markteinkommen liegt spürbar höher als der der verfügbaren Einkommen (also nach Steuern und Transfers). Die Differenz der beiden ist selbst eine Aussage – sie misst, wie stark Steuer- und Sozialsystem umverteilen. Wer Werte aus verschiedenen Quellen vergleicht, ohne das zu prüfen, vergleicht Äpfel mit Birnen.
• Einkommen ist nicht Vermögen. Der Vermögens-Gini liegt fast überall deutlich über dem Einkommens-Gini, weil sich Ersparnisse über Jahrzehnte aufbauen.

Rechentechnisch: Bei gruppierten Daten (zum Beispiel fünf Quintilen) brauchst du kein Integral – du näherst die Fläche unter der Lorenzkurve mit Trapezen zwischen den Stützpunkten an und ziehst das Ergebnis von der Dreiecksfläche ab. Das ist die Standardaufgabe im Übungsbuch.

Kleine Ergänzung zur Rechnung, weil das in Klausuren regelmäßig auftaucht: Wenn du den Gini aus Quintilen bestimmen sollst, geht das über die Trapezformel. Du trägst die kumulierten Einkommensanteile ab, verbindest die fünf Punkte geradlinig und berechnest die Fläche unter dem Streckenzug als Summe von Trapezen der Breite 0,2. Der Gini ist dann 1 − 2 × (diese Fläche), weil die Fläche unter der Diagonalen genau 0,5 beträgt.

Wichtig ist das Bewusstsein für den Fehler dabei: Zwischen den Stützpunkten unterstellst du eine Gerade, obwohl die echte Lorenzkurve dort nach unten durchhängt. Der aus gruppierten Daten berechnete Gini ist deshalb systematisch eine Untergrenze – je gröber die Gruppierung, desto stärker die Unterschätzung. Mit Dezilen kommt man näher an den wahren Wert als mit Quintilen.

Und weil oben die schneidenden Lorenzkurven angesprochen wurden: Genau deshalb wird der Gini in Berichten praktisch nie allein ausgewiesen, sondern zusammen mit dem S80/S20-Verhältnis (oberstes zu unterstem Quintil). Zwei Verteilungen mit gleichem Gini können an den Rändern völlig verschieden aussehen – und in der politischen Diskussion sind meistens genau die Ränder gemeint.