Lorenzkurve und Gini-Koeffizient – wie lese ich die Kurve, und was sagt der Wert wirklich aus?

Gern 🙂 Fangen wir mit den Achsen an, weil dort schon der halbe Verständnisgewinn steckt:

• x-Achse: kumulierter Anteil der Bevölkerung – aufsteigend nach Einkommen sortiert. Ganz links stehen also die Ärmsten.
• y-Achse: kumulierter Anteil des gesamten Einkommens, der auf diesen Bevölkerungsanteil entfällt.

Die Sortierung ist der entscheidende Schritt: Nur deshalb kann die Kurve gar nicht anders, als unterhalb der Diagonalen zu verlaufen und dabei immer steiler zu werden.

Die 45-Grad-Linie ist die Gleichverteilung: 20 % der Leute haben 20 % des Einkommens, 50 % haben 50 %. Je weiter die tatsächliche Kurve nach unten durchhängt, desto ungleicher ist verteilt.

Ablesen funktioniert direkt als Satz: Gehst du bei x = 0,5 hoch und triffst die Kurve bei y = 0,25, heißt das „die einkommensschwächere Hälfte der Bevölkerung erhält 25 % des Gesamteinkommens“. Genau diese Formulierung wollen Aufgaben meistens hören.

Der Gini-Koeffizient presst diesen Durchhang in eine Zahl:

• Gini = Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve geteilt durch die gesamte Dreiecksfläche unter der Diagonalen.
• 0 bedeutet vollkommene Gleichverteilung (die Kurve liegt auf der Diagonalen), 1 maximale Konzentration (einer hat alles).

Zur Einordnung: Verfügbare Haushaltseinkommen liegen in Westeuropa typischerweise grob im Bereich 0,25 bis 0,35, sehr ungleiche Länder deutlich darüber. 0,5 ist also ein großer Unterschied zu 0,3 – aber Vorsicht, vergleichbar sind Werte nur, wenn dieselbe Einkommensart gemeint ist.

Kathis Herleitung passt – ich hänge die Feinheiten dran, mit denen man in mündlichen Prüfungen punktet, weil sie zeigen, dass man die Kennzahl nicht nur ausrechnen kann:

• Eine Zahl kann nicht alles abbilden. Zwei völlig verschiedene Verteilungen können denselben Gini haben – nämlich immer dann, wenn sich ihre Lorenzkurven schneiden. Nur wenn eine Kurve komplett unterhalb der anderen liegt, ist die Aussage „eindeutig ungleicher“ sauber (Stichwort Lorenz-Dominanz).
• Der Gini reagiert am stärksten auf Veränderungen in der Mitte der Verteilung und relativ schwach auf die Ränder. Deshalb ergänzt man ihn gern um das S80/S20-Verhältnis (oberstes zu unterstem Fünftel) oder die Armutsgefährdungsquote.
• Vor oder nach Umverteilung? Der Gini der Markteinkommen liegt spürbar höher als der der verfügbaren Einkommen (also nach Steuern und Transfers). Die Differenz der beiden ist selbst eine Aussage – sie misst, wie stark Steuer- und Sozialsystem umverteilen. Wer Werte aus verschiedenen Quellen vergleicht, ohne das zu prüfen, vergleicht Äpfel mit Birnen.
• Einkommen ist nicht Vermögen. Der Vermögens-Gini liegt fast überall deutlich über dem Einkommens-Gini, weil sich Ersparnisse über Jahrzehnte aufbauen.

Rechentechnisch: Bei gruppierten Daten (zum Beispiel fünf Quintilen) brauchst du kein Integral – du näherst die Fläche unter der Lorenzkurve mit Trapezen zwischen den Stützpunkten an und ziehst das Ergebnis von der Dreiecksfläche ab. Das ist die Standardaufgabe im Übungsbuch.