Optimale Bestellmenge: Warum gibt es überhaupt ein Optimum – und wieso steht in der Andler-Formel eine Wurzel?

Dein Bauchgefühl ist genau die Hälfte der Wahrheit – und deshalb gibt es das Optimum. Es stehen sich nämlich zwei gegenläufige Kostenblöcke gegenüber:

• Bestellfixe Kosten (Bestellabwicklung, Anfrage, Wareneingang, Rechnungsprüfung). Die fallen pro Bestellvorgang an, unabhängig von der Menge. Bestellst du selten und viel, sinken sie: Gesamtbestellkosten = Bestellkosten je Vorgang × (Jahresbedarf / Bestellmenge).
• Lagerhaltungskosten (Kapitalbindung, Lagerraum, Versicherung, Schwund). Die steigen mit der Bestellmenge: Gesamtlagerkosten = (Bestellmenge / 2) × Einstandspreis × Lagerkostensatz.

Die Zwei im Nenner ist übrigens keine Willkür: Bei gleichmäßigem Verbrauch fällt der Bestand linear von der vollen Bestellmenge auf null, der durchschnittliche Lagerbestand ist also die halbe Bestellmenge. Das ist die klassische Sägezahnkurve aus dem Skript.

Addierst du beide Kurven, bekommst du eine U-förmige Gesamtkostenkurve: links (kleine Mengen) dominieren die Bestellkosten, rechts (große Mengen) die Lagerkosten. Irgendwo dazwischen liegt das Minimum – und genau das ist die optimale Bestellmenge.

Und daher kommt die Wurzel: Man leitet die Gesamtkostenfunktion nach der Bestellmenge ab und setzt sie null. Der Bestellkostenteil enthält 1/x, dessen Ableitung ist −1/x². Nach dem Nullsetzen steht x² auf einer Seite – und zum Auflösen musst du die Wurzel ziehen. Die Wurzel ist also kein Trick, sondern schlicht das Ergebnis des Ableitens.

Mit deinem Beispiel (Jahresbedarf 10.000 Stück, 80 € je Bestellung, Einstandspreis 25 €, Lagerkostensatz 20 %):

• Zähler: 200 × 10.000 × 80 = 160.000.000
• Nenner: 25 × 20 = 500
• Wurzel aus 320.000 ≈ 566 Stück, also rund 17,7 Bestellungen im Jahr

Die beste Kontrollrechnung überhaupt: Setz deine 566 Stück einmal in beide Kostenformeln ein. Bestellkosten: 80 × (10.000/566) ≈ 1.414 €. Lagerkosten: (566/2) × 25 × 0,2 ≈ 1.415 €. Im Optimum sind beide Kostenblöcke gleich groß. Wenn das in deiner Klausuraufgabe nicht hinkommt, hast du dich verrechnet – dieser Test hat mich schon zweimal gerettet. 🙂

Zur krummen Zahl: Die rechnerische Menge ist ein Zwischenergebnis. In der Praxis rundest du danach auf die nächste sinnvolle Gebinde- oder Palettengröße.

Und dein Dozent hat recht – aber genau deshalb lohnt sich die Formel. Schau dir an, was sie alles voraussetzt:

• der Jahresbedarf ist bekannt und über das Jahr konstant (keine Saison, keine Prognosefehler)
• der Einstandspreis ist mengenunabhängig, also keine Mengenrabatte und keine Staffelpreise
• sofortige und sichere Lieferung, keine Fehlmengenkosten
• unbegrenzte Lagerkapazität und unbegrenzte Liquidität
• Bestellkosten je Vorgang und Lagerkostensatz sind konstant

In der Realität kippt praktisch jede dieser Annahmen. Trotzdem ist die Formel nicht wertlos, und das hat einen hübschen mathematischen Grund: Die Gesamtkostenkurve ist rund um das Optimum sehr flach. Rechne es mit deinen Zahlen einmal nach – wenn du statt 566 lieber 700 Stück bestellst, steigen die Gesamtkosten um deutlich weniger als drei Prozent. Die Botschaft der Formel ist also eine Größenordnung („eher alle drei Wochen als einmal im Jahr“), keine Punktlandung. Genau deshalb darf man beruhigt auf Palettengrößen runden.

Zwei Ergänzungen, die in Klausuren gern zusätzlich abgefragt werden:

• Mengenrabatte: Sobald es Staffelpreise gibt, ist die Formel als solche nicht mehr zuständig. Dann rechnest du die Gesamtkosten (Beschaffungspreis + Bestell- + Lagerkosten) an den Sprungstellen der Rabattstaffel aus und vergleichst sie mit dem rechnerischen Optimum. Das Optimum liegt immer entweder beim Formelwert oder an einer Staffelgrenze.
• Der Lagerkostensatz ist die eigentliche Unschärfe. Er enthält Zinskosten für die Kapitalbindung plus Raum, Versicherung, Handling und Schwund. Der Zinssatz ist eine Annahme – und weil er unter der Wurzel steht, schlägt eine Verdopplung des Lagerkostensatzes nur mit dem Faktor 1/√2 ≈ 0,71 auf die Bestellmenge durch. Das Ergebnis ist also robuster gegen Schätzfehler, als man befürchtet.

Und der Klassiker beim Rechnen: Einheiten prüfen. Die 200 im Zähler ist keine Naturkonstante, sondern nur 2 × 100 – die 2 kommt vom halben Durchschnittsbestand, die 100 von der Umrechnung des Lagerkostensatzes aus Prozent. Wenn du den Lagerkostensatz als Dezimalzahl (0,2) einsetzt, gehört in den Zähler eine 2 und keine 200. Wer beides mischt, landet um den Faktor 10 daneben – ein extrem häufiger Punktverlust.