Partielle Ableitung bei zwei Variablen – was bedeutet das geometrisch eigentlich?

Dein Verständnis ist gar nicht löchrig, nur noch nicht ganz zu Ende gedacht 😄 Die Schnitt-Idee ist genau der Schlüssel.

Stell dir deine Fläche f(x,y) im Raum vor, so ein Gebirge über der x-y-Ebene. Jetzt willst du f_x an einem Punkt (x0, y0) berechnen. Dafür legst du eine Ebene, die parallel zur x-z-Ebene liegt und durch y = y0 geht – quasi ein senkrechter "Schnitt" durchs Gebirge bei festem y0. Diese Ebene schneidet die Fläche in einer ganz normalen Kurve, einer Funktion nur noch von x (weil y ja konstant = y0 ist). Und f_x(x0,y0) ist einfach die Steigung der Tangente an diese Schnittkurve im Punkt x0 – also wieder ganz klassisch wie bei einer Variablen, nur dass du vorher "eine Scheibe" aus der Fläche rausgeschnitten hast.

Für f_y machst du das Gleiche, nur andersrum: Ebene parallel zur y-z-Ebene bei festem x0, Schnittkurve in y, und f_y(x0,y0) ist die Steigung dieser Tangente.

Merksatz: Partielle Ableitung = Steigung der Tangente an die Schnittkurve, die entsteht, wenn du eine der beiden Variablen festhältst (einfrierst) und nur die andere laufen lässt.

Typischer Denkfehler: Leute glauben, f_x und f_y zusammen würden schon die "Steigung der Fläche" im Punkt vollständig beschreiben – tut es aber nicht für jede Richtung, dafür bräuchtest du die Richtungsableitung. f_x und f_y sind nur die beiden Spezialfälle in Richtung der Koordinatenachsen. Die beiden Tangenten zusammen spannen aber die Tangentialebene auf, und das ist dann wieder ein schönes Bild im Kopf.