Wendepunkt oder Sattelpunkt – wie unterscheide ich das sicher über die zweite Ableitung?

Hi Tim, deine Grundidee ist schon richtig, aber ein paar Punkte muss ich gerade rücken 😊

Erstmal zum Vorzeichenwechsel: Ja, der ist tatsächlich das entscheidende Kriterium für einen Wendepunkt – nicht f''(x)=0 allein. f''(x)=0 ist nur notwendig, aber nicht hinreichend. Klassisches Gegenbeispiel: f(x) = x^4 hat bei x=0 eine Nullstelle der zweiten Ableitung, aber f'' wechselt dort NICHT das Vorzeichen (bleibt positiv), also liegt kein Wendepunkt vor, sondern ein Minimum mit "verschliffener" Krümmung.

Die f'''-Prüfung ist im Grunde nur eine Abkürzung, um dir den Vorzeichenwechsel-Check zu sparen:

• f''(x0) = 0 und f'''(x0) ≠ 0 → Wendepunkt (garantiert Vorzeichenwechsel)
• f'''(x0) = 0 → keine Aussage möglich, dann musst du doch wieder den Vorzeichenwechsel direkt über Werte links/rechts von x0 prüfen

Zu deiner zweiten Frage: Wenn f'(x0)=0 UND f''(x0)=0 ist, ist das nicht automatisch ein Sattelpunkt. Das ist erstmal nur ein Kandidat für beides. Sattelpunkt heißt ja: Wendepunkt mit horizontaler Tangente. Du brauchst also wirklich beide Nachweise unabhängig:

• f'(x0)=0 (horizontale Tangente)
• Vorzeichenwechsel von f'' bei x0 (echter Wendepunkt)

Nur wenn beides zusammen erfüllt ist, hast du einen Sattelpunkt. Fehlt der Vorzeichenwechsel, hast du einen Extrempunkt mit horizontaler Tangente, aber keinen Wendepunkt – fertig. Für die Klausur: bei Funktionen höheren Grades am sichersten mit Testwerten knapp links/rechts der Nullstelle in f'' einsetzen, das ist narrensicher.

Marco hat das schon sauber auf den Punkt gebracht, ich ergänze nur noch ein kleines Rechenbeispiel, weil mir das damals selbst geholfen hat, das Prinzip wirklich zu verinnerlichen.

Nehmt f(x) = x^3. Dann f'(x) = 3x^2, f''(x) = 6x, f'''(x) = 6.

• f''(x0) = 0 bei x0 = 0
• f'''(0) = 6 ≠ 0 → also Wendepunkt garantiert, ohne dass man Testwerte einsetzen muss
• zusätzlich f'(0) = 0 → horizontale Tangente
• damit: Sattelpunkt bei x = 0

Zur Kontrolle trotzdem die Vorzeichen-Tabelle, gerade weil das in der Klausur schnell geht und man nichts auswendig lernen muss:

• x = -1: f''(-1) = -6 → negativ (Rechtskrümmung)
• x = 0: f''(0) = 0
• x = 1: f''(1) = 6 → positiv (Linkskrümmung)

Vorzeichenwechsel von − nach + bei x = 0 bestätigt: echter Wendepunkt.

Merksatz, den ich mir aufgeschrieben habe: f''=0 ist nur die Tür, durch die man gehen muss, aber erst der Vorzeichenwechsel (oder ersatzweise f'''≠0) zeigt, ob dahinter wirklich ein Wendepunkt liegt. Und ob's zusätzlich ein Sattelpunkt ist, hängt komplett unabhängig davon an f'(x0)=0. Beide Bedingungen immer getrennt prüfen, dann passiert einem in der Klausur kein Flüchtigkeitsfehler.