Entscheidungstechniken der Unternehmung - Lineare Programmierung

KatrinP

Hallo,
ich häng hier bei einer Aufgabe und komm nicht weiter. Wer kann mir helfen?

Die Aufgabe lautet:
Eine Firma kann zwei Maschinen herstellen. Beide Maschinen haben denselben Materialverbrauch, jährlich kann Material für 800 Maschinen beschafft werden. Von der Maschine 1 können jährlich bis zu 400, von der Maschine 2 bis zu 700 Stück angesetzt werden. Maschine 1 erzielt einen Gewinn 40 Euro/Stück, Maschine 2 von 30 Euro/Stück.
Bei welcher Mengenkombination erzielt der Betrieb unter den gegebenen Bedingungen den größtmöglichen Gewinn?

Ich habe schon angefangen bzw. versucht, die Gleichung aufzustellen:

G = 40 * m1 + 30 * m2 --> Max

NB1 = m1 < 400
NB2 = m2 < 700

Ist das richtig? Sind die jährlich 800 beschafften Materialien Nebenbedingung 3? Wenn ich die Gleichung weiter rechne bzw. auflöse, passt das irgendwie alles nicht mit der Grafik, die dann nach den Ergebnissen gezeichnet werden muss. Wer kann mir die Auflösung der Gleichung erklären?

Katrin

lythande74

Hallo Katrin,

ich habe keine Formel für Dich, aber das ist eine Logikaufgabe.

Ich kann max 800 Maschinen im Jahr produzieren.
Von Maschine A kann ich bei einem Stückgewinn von 40 € max. 400 produzieren.
Von Maschine B kann ich bei einem Stückgewinn von 30 € max. 700 produzieren.

Den höchsten Gewinn hätte ich wenn ich 800 + Maschine A produzieren würde, das geht aber nicht, hier ist die Menge begrenzt. Also produziere ich 400 * Maschine A und 400 * Maschine B.
Wenn Du nicht noch Randbedingungen ausgelassen hast wie Einsatzzeiten etc. die eine Änderung bedingen können ist es so einfach......

Aber hier findet sich sicher noch ein Wirtschaftsmathematiker, der das mit einer Gleichung löst....

Gruss,

Heinke

KatrinP

Hallo Heinke,

danke für deinen Tip, aber ich glaube, das ist nicht die Lösung. Ich muss diese Formel, die ich schon angefangen hatte, einsetzen.

Aber trotzdem vielen Dank.

Gruß,

Markus

Vorschlag:

Maximierungsproblem:

[latex]G\,=\,40m_1\,+\,30m_2 \rightarrow max![/latex]

Nebenbedingungen:

[latex]1.\, m_1\,+\,m_2\,=\,800[/latex]

[latex]2.\,m_1\, \leq\,400[/latex]

[latex]3.\,m_2\,\leq\,700[/latex]

Nichtnegativitätsbedingungen:

[latex]4.\,m_1\,\geq\,0[/latex]
[latex]5.\,m_2\,\geq\,0[/latex]

Alle Gleichungen nach einem Paramter auflösen (m₁ oder m₂). Zeichnen bzw. Schnittpunkte berechnen und du hast dein Optimum.

Gruß
Markus

KatrinP

Hallo Markus,
vielen Dank für die Hilfe, aber irgendwie komm ich einfach nicht weiter. Ich steh irgendwie voll auf dem Schlauch, glaube ich.

Ich hab jetzt wie folgt nach m2 aufgelöst:

Zielfunktion:
G = 40 * m1 + 30 * m2 --> Max.

NB1: m1 < 400
NB2: m2 < 700
NB3: 800 > m1 + m2

m1 = 400
m2 = 700
700 * m2 = 800 – 400 * m1
m2 = 1,14 – 0,57 * m1

G = 40 * m1 + 30 * m2
30 * m2 = -40 * m1 + G
m2 = -1,33 * m1 + 0,3 * G

Ist das soweit richtig?? Ich hab jetzt Probleme die Nebenbedingung 3 einzuzeichnen (also m2=1,14-0,57m1). NB 1 und 2 war noch einfach, aber NB 3 muss diese beiden anderen Nebenbedingungen doch schneiden, oder? Ich hab mir das Beispiel auch aus meinem Heft nochmal angeguckt, da sieht das eigentlich noch einfach bzw. nachvollziehbar aus.
Irgendwie haut meine Rechnung aber nicht so recht hin. Ich glaube, ich mach noch irgendwas falsch.

Vielleicht kannst du mir ja noch weiterhelfen?

Gruß,

Markus

Du machst das ein wenig zu umständlich.

1. m₁, m₂-Koordinatensystem anlegen

2. Folgende Funktionen einzeichnen:

[latex]m_2\,=\,800\,-\,m_1[/latex]

[latex]m_1\,=\,400[/latex]

[latex]m_2\,=\,700[/latex]

Du musst nur die positiven Werte berücksichtigen, also den ersten Quadranten.

Folgende Funktionen vom Ursprung aus an das äußerste rechts oben gelegene Eck parallel verschieben (der letzte Punkt der noch auf der Fläch deiner Möglichkeiten liegt):

[latex]m_2\,=\,\frac{4}{3}m_1[/latex]

Den Schnittpunkt, also dein Optimum kannst du dann per Gleichsetzen der beiden entsprechenden Funktionen berechnen.

Gruß
Markus

KatrinP

Hallo Markus,

danke für die Hilfe.

Ich habe jetzt eine Lösung zusammengestellt. Ob sie richtig ist, sehe ich ja, wenn ich sie korrigiert zurückbekomme.

Gruß,

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