Exponentialverteilung – wann nehme ich die statt der Poisson-Verteilung?

Hey Tim, deine Unterscheidung ist schon völlig richtig, du musst nur auf die Frage-Einheit im Text achten, nicht auf die Situation an sich. Die Situation (Poisson-Prozess) ist nämlich bei beiden dieselbe, nur die Fragestellung unterscheidet sich.

Faustregel, die bei mir immer funktioniert hat:

• Steht im Text "wie viele Ereignisse", "Anzahl der Ausfälle", "mindestens/genau/höchstens k Stück in Zeitraum t" → Poisson. Ergebnis ist eine ganze Zahl.
• Steht im Text "wie lange dauert es bis...", "Wartezeit", "Zeit bis zum ersten/nächsten Ereignis übersteigt t" → Exponentialverteilung. Ergebnis ist eine Zeitdauer.

Der schöne Zusammenhang, der dir in Klausuren oft als Trick begegnet: "Wartezeit bis zum nächsten Ereignis > t" ist äquivalent zu "in Zeitraum t passiert kein Ereignis". Also gilt:

P(T > t) = P(X = 0) = e^(-λt)

Das ist quasi die Brücke zwischen beiden Welten – du kannst die Exponential-Wahrscheinlichkeit also auch über Poisson mit k=0 herleiten, falls du die Exponentialformel gerade nicht parat hast. 😉

Wenn in einer Aufgabe beides gefragt wird, ist das meistens kein Zufall, sondern will genau diesen Zusammenhang prüfen – also keine Sorge, da ist nichts überflüssig, sondern zwei Blickwinkel auf denselben Prozess. Typischer Fehler: Leute nehmen für "Wartezeit" fälschlich die Poisson-Formel mit nicht-ganzzahligem k – geht nicht, Poisson ist diskret!