Hallo Julia, die Grundregel steht in § 14 Abs. 2 TzBfG: Ohne Sachgrund ist eine Befristung bis zu einer Gesamtdauer von zwei Jahren zulässig, und innerhalb dieser zwei Jahre darf höchstens dreimal verlängert werden. Also insgesamt vier Verträge (der ursprüngliche plus drei Verlängerungen), solange die Zwei-Jahres-Grenze nicht überschritten wird.
Wichtig ist dabei die Unterscheidung zwischen „Verlängerung“ und „Neuabschluss mit geänderten Bedingungen“: Eine echte Verlängerung darf inhaltlich nur die Vertragsdauer betreffen, keine sonstigen Konditionen (z. B. Gehalt, Stundenumfang) ändern – sonst sieht die Rechtsprechung das nicht mehr als reine Verlängerung im Sinne der Norm an, was Konsequenzen für die Wirksamkeit der Befristung haben kann.
Dein dritter Vertrag bei deinem Kollegen ist also grundsätzlich noch im Rahmen, solange die Gesamtdauer von zwei Jahren eingehalten wird. Ich würde dennoch genau nachrechnen, ab wann das erste befristete Verhältnis lief – oft wird übersehen, dass auch Unterbrechungen eine Rolle spielen können (Stichwort: Vorbeschäftigungsverbot, § 14 Abs. 2 Satz 2 TzBfG), falls der Kollege vorher schon mal beim selben Arbeitgeber war.
Zu deinem Hinweis auf Tarifvertrag und Neugründung: Beides stimmt im Kern. Nach § 14 Abs. 2 Satz 3 TzBfG können Tarifverträge abweichende Regelungen zu Anzahl und Höchstdauer treffen, und für neu gegründete Unternehmen gibt es in Abs. 2a eine Sonderregelung mit bis zu vier Jahren Gesamtdauer. Da würde ich konkret nachschauen, ob einer dieser Fälle bei euch greift.