Grenzproduktivität

Hi galuma,

ich hoffe du bist des Ableitens mächtig :D:

Die Grenzproduktivität eines Faktors erhältst du, wenn du die Prd.-Fkt. partiell nach dem Faktor ableitest.

Da müsste dann sowas rauskommen:
GP(K) = 100 * N^0.5 * K^-0.5, oder anders formuliert:
GP(K) = 100 * Wurzel aus N / Wurzel aus K
GP(K) = 120

marginale Veränderung von GP(K) ist vermutlich die 2te Ableitung von Y(N,K) nach K, also
GP'(K) = -50 * N^0.5 * K^-1.5
GP'(K) = -0.6, d.h. die Grenzproduktivität von K sinkt marginal um 0.6 bei einem Einsatz von (N,K) = (144,100),
oder, im großen und ganzen formuliert: Bei diesem Faktoreinsatz (144,100) steigt der Output um 120, wenn man eine Einheit K mehr verwendet; allerdings um 0.6 weniger, als nach der letzten, zusätzlich verwendeten Einheit K.

...hab mich hoffentlich nicht verzettelt, ich empfehle dir stark, das nachzurechnen.

Grüße
-granti

Hallo Galuma,

sag mal bist du ersti an der Fern Uni??? Ich bin bei genau der gleichen Aufgabe und bin total happy dass ich dieses Forum gefunden habe. An dieser Stelle auch vielen Dank an Granti hoffe Ihr seit öfter hier. Nehme an die Aufgabe lassen sich in Kooperation besser und vor allem verständlicher lösen.

Ich muss sagen ich habe auch einige wichtige Hilfssätze vergessen, so ist mir aber dann doch eingefallen das eine Zahl hoch 0,5 das gleich ist wie die Wurzel daraus ziehen.

granti bei hoch -0,5 ist es dann wahrscheinlich der Kehrwert und wie geht es dann weiter bei hoch -1,5 ??

Grüße aus dem EN-Kreis

ostyles:

Exponenten werden addiert bzw. subtrahiert...
x^1,5 kann man also auch schreiben als x^1 * x^0,5 oder x*(Wurzel x).

=>
y = Wurzel x = x^0,5
y' = 1 / (2 * Wurzel x) = 0,5 * x^-0,5
y'' = -1 / (4 * x * Wurzel x) = -0,25 * x^-1,5
usw.

Grüße,
granti

Hi Leute,

bin auch neu hier. Mache 1 Semester Fernuni hagen.

Habe auch Erklärungsproblem mit Aufgabe 2, wie galuma!

Könnt ihr vielleicht erklären wie ihr die funktion ableitet?

Wenn ich Ergebnis nehme 120, dann ist die Lösung ganz einfach:

Wurzel aus 144 x Wurzel von 100 = 12x10=120

Aber was ist mit Faktor 200? Wo ist dieser hin?

in euren Erklärungen sehe ich dass ihr eine Ableitung macht. Wie diese aber zustande kommt habe ich nicht kapiert. Abitur ist schon länger her, habe wohl alles vergessen und komme nicht auf den richtigen rechenweg.

Danke für Eure Hilfe

Alex:

Mal etwas ausführlicher; Ableiten ist wichtig in der VWL, brauchst du ständig:

Y(N,K) = 200 * N^0.5 * K^0.5 = (anders formuliert) 200 * Wurzel(N) * Wurzel(K)

erste Ableitung nach K:

Y'(N,K') = 0.5 * 200 * N^0.5 * K^-0.5
Y'(N,K') = 100 * N^0,5 * K^-0.5 = 100 * Wurzel(N) / Wurzel(K)

einsetzen:

Y'(N,K') = GP(K) = 100 * Wurzel(144) / Wurzel(100) = 100 * 12 / 10 = 120

zweite Ableitung nach K:

Y''(N,K'') = -0.5 * 0.5 * 200 * N^0.5 * K^-1.5
Y''(N,K'') = -50 * N^0.5 * K^-1.5 = -50 * Wurzel(N) / (K * Wurzel(K))

einsetzen:

Y''(N,K'') = -50 * Wurzel(144) / (100 * Wurzel(100)
Y''(N,K'') = -50 * 12 / 1000 = - 600/1000 = - 6/10 = -0.6

Hier wird eigentlich nur eine Ableitungsregel benutzt:
Die Ableitung von x^a = a * x^(a-1)
Der Rest des Multiplikators bleibt gleich.
In Summen werden nur die Summanden abgeleitet, die die abzuleitende Variable enthalten, der Rest fällt weg.

Warum wird abgeleitet:
Durch die erste Ableitung einer Funktion erhält man die Steigung der Funktion (an einem beliebigen Punkt) bzw. die Steigung der Tangente. Die Steigung ist aber nichts anderes als die Änderung des Funktionswerts bei einer marginalen Veränderung (bei großen Veränderungen klappt das nur bei Geraden) der Variablen. Grenzproduktivität von K: Wie stark verändert sich Y, wenn ich K marginal (um eine Einheit) erhöhe oder senke.
Durch die zweite Ableitung erhält man die Krümmung der Funktion (an einem beliebigen Punkt) die besagt, um welchen Faktor sich die Steigung im Funktionsverlauf verändert, und in welche Richtung (Vorzeichen). Also: Veränderung der Grenzproduktivität an einem bestimmten Punkt.

Viel Spaß damit

-granti

Hi bin auch einer aus der Fernuni

Zur Aufgabe 2b -> da ist doch die Veränderung in diesem bestimmten Punkt 144/100 gesucht und das für das Kapital. Auf Mathematisch also der Punkt 144/100 auf dem Grapfen der 1ten Ableitung der Funktion nach K, wofür brauche ich dann die 2te Ableitung? Ich muss ja nicht beantworten wie der Graph weiter verläuft oder denke ich da Falsch.
Oder gibt mir die erste Ableitung nur die "Geschwindigkeit" an aber nicht die "Richtung" in die ich Fahre?


Grüße aus Aachen!

@ RamirezTerrix: Faktisch ist hier nach 2 Ebenen der Veränderung gefragt: Der Grenzproduktivität (=Veränderung der Outputs bei Änderung des Faktoreinsatzes) und der marginalen Veränderung der Grenzproduktivität (=Veränderung der Veränderung des Outputs bei Änderung des Faktoreinsatzes).

Mal ein Beispiel zur Veranschaulichung: Nehmen wie an, es gäbe nur einen Produktionsfaktor und eine Technologie der Form Y(K) = a + b * K (also eine Gerade). Die Grenzproduktivität (1.Ableitung, Steigung der Geraden) wäre konstant = b. Die Veränderung der Grenzproduktivität (2. Ableitung, Veränderung der Steigung) wäre 0, weil die GP ja konstant wäre, da die Steigung der Funktion sich ja nicht ändert.

-granti

Hallo!
Ich bin neu hier und würde gerne selbst noch irgendwie auf die Lösung kommen. Wo steht die Formel eigentlich im Script? Ich hab sie nirgendwo gefunden?!?!
Und stimmt es, dass dieses ^Zeichen "hoch" bedeutet????
Sorry für die "unmathematische" Zwischenfrage

LG aus Aachen
Mariana

Auch aus Aachen

Die Formel habe ich auch nicht im Script gefunden - das war wohl zu Trivial nachdem ja schon die Grenzrate der Substitution erklärt wurde
Also an der GRS kann man sich allgemein das Prinzip jeglicher Grenzraten ableiten (hoffe ich). Zu vielen Fragen in der Einsendearbeit habe ich nicht die Entsprechungen im Script gefunden
zum Beispiel beim Vollbeschäftigungseinkommen (vll kann mir da ja jemand noch was zu sagen).
Das ^ beudeutet Hoch.

Hey Granti,

ich habe echt Schwierigkeiten mit den Aufgaben für die EA, vor allem bis 7.01. wird eng, kommst du irgendwo hier aus der Gegend.
Es würde mir glaub ich unglaublich weiterhelfen wenn wir uns mal zusammen setzen, das wäre echt super.

Bei der Aufgabe 4 kommen mir schon wieder einige Zweifel: Vielleicht könntest du mir da noch mal Lösungshinweise geben

Aufgabentext: In einer VW sind folgende Werte für den autonomen Konsum (Ca), die Konsumneigung (c), die Staatsausgaben G, die Steuerzahlungen T und die Investitionen (I) bekannt

Ca = 8
c=0,8
G= 9
T=10
I=10

a) Berechnen Sie das Vollbeschäftigungseinkommen (Y), das in dieser Situation erreicht wird.

b) Berechnen Sie den Staatsausgabenmulitiplikator (dY/dG), also die gesamte Zunahme des Einkommens, die erzielt wird, wenn die Staatsausgaben ceteris paribus um eine Einheit erhöht werden.

Bei a) hätte ich als Lösung 9,5 vorzuschalgen und bei b) ???

Bitte um Hilfe, Vielen Dank

Gruß aus Hagen

Hi mariana, ramirez,

ich kenne die Aufgangen nicht, dachte, es wäre nur die Produktionsfunktion gegeben.

Wüsste auch nicht, was da für Formeln nötig wären; das ganze ist nur Analysis: Man hat irgendeine Funktion, und checkt, wie diese Funktion verläuft.

Zur Illustration mal ein Bild einer Cobb Douglas PrdFkt auf Wikipedia:

Der Bergausschnitt zeigt alle Kombinationen von Input und Output einer solchen Funktion; die Kombinationen auf der Bergoberfläche sind effizient.

Die Grenzrate der (technischen) Substitution wäre hier eine Tangente in der waagrechten Ebene, entlang der bunten Linien (zeigt, mit welchen Faktorkominationen ein bestimmter Output erzielt werden kann).
Die Grenzproduktivität von K wäre hier eine Tangente in der Ebene der rechten Würfelseite, also die senkrechten Linien auf der Gibrigsoberfläche (zeigt, wie sich der Output ändert, wenn man den Einsatz an K ändert und L konstant lässt).

Grüße,
granti

Hi ostyles,

ich bin im Moment in Asien, das wird wohl nicht klappen
Bin auch fertig mit dem Studium, ich schreib hier nur ab und zu mal was rein, weil ich mir so ein Forum als Student öfter mal gewünscht hätte (gerade für Fernuni-Leute, die keinen Asi haben, den sie in der Übung nerven können, ist sowas sicherlich sehr hilfreich)...

Zur Aufgabe (wäre in nem eigenen Thread vielleicht besser aufgehoben):

Geschlossene Volkswirtschaft mit Staat:

Y = C + I + G - T
Y = Ca + c*Y + I + G - T... bisschen umformen, um Y zu isolieren:
Y = (Ca + I + G - T) / (1 - c)

a) einsetzen:

Y = 17 / 0,2 = 85, nach meiner Rechnung...

b) dY / dG = 1 / (1 - c) = 1 / s = 5

=> Eine Einheit mehr G führt zu 5 Einheiten mehr Y.

Kann man jetzt testen, indem man in die Gleichung bei a für G eine Einheit mehr einsetzt:

Y = 18 / 0,2 = 90

...wenn ich nicht die komplette Gleichung versaut habe, müsste das so stimmen (ansonsten ist beides falsch :))

EDIT: Hilfreich hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Multiplikator_(Volkswirtschaft)

Grüße,
granti

Hey Granti,

vielen Dank schon mal werde mich jetzt glaub ich zwar erstmal den Rest des Abends damit beschäftigen, hoffe aber es dann zu verstehen. Melde mich morgen zu Erfolg oder Misserfolg
Asien hört sich natürlich spannend an aber für Lerngruppe einbissel weit. Also glaubst du ich bin noch nicht hoffnungslos verloren wenn ich da noch Schwierigkeiten habe, ich frage mich die ganze Zeit wie man das alles anhand der Studienbriefe allein verstehen soll.

Was machst du denn so in Asien?

Gruß

Ostyles

Hey Granti,

danke für deine Erklärung zu GP

Y(N,K) = 200 * N^0.5 * K^0.5 = 200 * Wurzel(N) * Wurzel(K)
erste Ableitung nach K:
Y'(N,K') = 0.5 * 200 * N^0.5 * K^-0.5

Wie hast du auf K abgeleitet? Gibt es da eine regel? Alles mal 1/2 oder was anderes?

Gruß nach Asien

hey ostyles,

ich hab die Aufgaben/Skripte/was auch immer man als Fernstudent so bekommt noch nie angeschaut. Ich hab selber in München studiert, und da gibt's (wie wohl in jeder Uni und in fast jedem Studiengang) zur Vorlesung immer eine Übung, in der man kurz gesagt lernt, wie man die Klausur besteht.
Ich bin teilweise auch gar nicht in die Vorlesungen gegangen (Bücher und Skripte lesen tut's auch), aber die Übungen fand ich immer wichtig und hab versucht, so wenige wie möglich zu versäumen (vor allem später im Studium, wenn man sich spezialisiert hat und Vorlesungen belegt, in denen einem kein Mensch mehr mit bloßen Mathekenntnissen helfen kann).

Bei diesen Rechenaufgaben ist Übung halt sehr wichtig (gilt allgemein für Mathematikaufgaben), weil man erstens sicherer wird und zweitens, weil die Fragestellung in VWL-Prüfungen immer sehr ähnlich ist. Man kann also sehr viel Zeit sparen, wenn man sich nicht dauernd mit Ableitungen verhaspelt und /oder sich irgendwo verrechnet. Trotzdem sollte man nie aus den Augen verlieren, warum man eine bestimmte mathematische Methode anwendet.

Ich glaub, du kriegst das schon hin, das ist definitiv machbar.
Wenn du für die Übungsaufgaben Musterlösungen hast, dann versuch die vor der Klausur alle mal durchzurechnen, evtl. zweimal, ohne Vorlage und ohne Hilfe. Es gibt übrigens viele Lehrstühle in Deutschlands VWL-Fakultäten, die für ihre Studenten Klausuraufgaben und Lösungen auf der Lehrstuhl-Page zum Download anbieten, da musst du mal ein bisschen rumstöbern.

-granti

...ihr scheint ja alle ganz schön im Stress zu sein... Klausurpanik?

@ Alex:

Ableitungsregel für eine Variable mit Exponent: y = x^a, y' = a * x^(a-1)
...anders Formuliert: Du stellst den alten Exponenten einfach als Multiplikator in die Gleichung, und ziehst vom Exponenten 1 ab.

Beispiel: Ableitung nach x^2 = 2 * x^1 = 2 * x

Dein Beispiel: Ableitung von K^0,5 ist 0,5 * K^-0,5

alle anderen Dinge bleiben gleich; in einer Summe gilt, dass nur die Summanden abgeleitet werden, in denen die fragliche Variable vorkommt.

Mal ein Beispiel aus der Vollbeschäftigungseinkommen-Aufgabe oben:

Y = (Ca + I + G - T) / (1 - c)

jetzt ist nach der Ableitung von Y nach G gefragt:Man kann die Gleichung umschreiben als Summe:

Y = (Ca + I - T) / (1 - c) + G / (1 - c)

im ersten Summanden kommt G nicht vor, das fällt also alles raus. Interessant ist nur die Ableitung von

Y = G / (1 - c) nach G

kann man formulieren als:

Y = [1 / (1 - c)] * G^1

Ableitungsregel:

Y' = 1 * [1 / (1 - c)] * G^0

eine beliebige Zahl mit dem Exponenten 0 ist eins. Also

Y' = 1 * [1 / (1 - c)] * 1

oder kurz:

Y' = 1 / (1 - c)

Differenzieren ist extrem einfach und spart Arbeit... wenn man's mal kann, was etwas Übung erfordert.
Ein VWLer im, sagen wir, 5ten Semester ist i.d.R. in der Lage das Ergebnis eines Lagrange-Maximierungsansatzes aus der Angabe abzulesen. Wenn man das alles 100mal gemacht hat, rechnet man solche Dinge im Kopf aus; Übung macht den Mathe-Meister... also, nur Mut!!

grüße,
granti

granti,

Klausur ist erst im März, aber einsendearbeiten müssen wir bis zum 07.01 abgeben, daher ist die Hektik so groß. Es ist sehr schwer als Fernstudium ohne guter Mathekenntnisse in VWL oder BWL. Vielleicht sollte man zuerst Mathesemester machen und erst dann VWL.
Aber jetzt hat man schon die Kurse gewählt und muss dadurch.
Die skripte die man bekommt von der Uni sind nicht die besten. Manchmal versteht man überhaupt nichts. Auf der seiten der Uni, blickt man öfters nicht durch. Man findet einfach nichts. Das ist der große Nachteil vom Fernstudieren. In den Vorlesungen wird vieleicht mehr erklärt oder geübt. Ich weiss es nicht genau. Habe nicht Vollzeitstudiert.
So ist die Lage!

tut mir leid dass ich deine Zeit mit so blöden Fragen nehme, aber...

wie kommt dies zustande

100 * N^0,5 * K^-0.5 = 100 * Wurzel(N) / Wurzel(K)

Gruß