Matrizen multiplizieren – wann geht das überhaupt, und worauf muss ich bei der Reihenfolge achten?

Hey Tim, kenn ich gut, das war bei mir im ersten Semester auch die Fehlerquelle Nummer 1 unter Zeitdruck 😄 Meine Eselsbrücke: Schreib dir die Dimensionen immer als "(Zeilen x Spalten)" direkt unter die Matrix, so wie man das auch in Büchern sieht. Dann stellst du A und B nebeneinander:

A ist (m x n), B ist (p x q). Die beiden "inneren" Zahlen (n und p) müssen gleich sein – das ist deine Bedingung. Die "äußeren" Zahlen (m und q) ergeben dann die Dimension vom Ergebnis.

Kleines Beispiel: A ist 2x3, B ist 3x4. Innere Zahlen (3 und 3) passen zusammen, also geht's. Ergebnis ist dann 2x4 (die äußeren Zahlen). Wäre B dagegen 4x3, würd's nicht klappen, weil 3 (Spalten A) ≠ 4 (Zeilen B).

Zur Reihenfolge B·A: einfach nochmal dieselbe Regel anwenden, aber jetzt mit B zuerst. Da prüfst du halt die Spalten von B gegen die Zeilen von A – das kann komplett andere Ergebnisse liefern oder sogar undefiniert sein, obwohl A·B ging.

Zu deiner letzten Frage: Ja, ich schreib die Dimensionen in der Klausur IMMER explizit hin, kostet 5 Sekunden und erspart dir doofe Fehler beim Verrechnen mitten in der Rechnung. Lieber einmal kurz checken als am Ende feststellen, dass du Äpfel mit Birnen multipliziert hast 🙂

Merksatz: "Innen gleich, außen bleibt" – innen muss übereinstimmen, außen ergibt die neue Form.

Moin Tim, die Regel von Marco ist genau die, mit der ich auch arbeite, "innen gleich, außen bleibt" trifft es gut. Ich ergänze noch eine kleine Merkhilfe, die mir in der Klausur geholfen hat: Ich schreibe mir unter jede Matrix die Dimension in der Reihenfolge, wie das Produkt notiert ist, also bei A·B direkt (m x n)(n x q) hintereinander. Die beiden mittleren Zahlen berühren sich quasi, wenn die nicht gleich sind, geht's nicht. Stell dir das wie ein Reißverschluss vor, der nur zugeht, wenn die Zähne (die inneren Zahlen) zusammenpassen.

Was ich noch als Warnung ergänzen möchte, weil das in Klausuren regelmäßig Punkte kostet: Viele nehmen bei der Matrizenmultiplikation unbewusst Kommutativität an, weil man das aus dem Zahlenrechnen so gewohnt ist. Das ist bei Matrizen aber ein Trugschluss. Selbst wenn A·B und B·A beide definiert sind, zum Beispiel bei quadratischen Matrizen gleicher Größe, kommt in aller Regel etwas anderes raus. Typischer Klausurfehler ist, bei einer Gleichung wie A·X = B einfach von links mit A⁻¹ zu "kürzen" und dabei die Reihenfolge zu vertauschen. Da muss man exakt auf der Seite bleiben, auf der man multipliziert, also entweder von links oder von rechts, aber konsequent auf beiden Seiten der Gleichung gleich.

Dimensionen explizit hinschreiben kann ich nur unterstreichen, das hat mich selbst im Fernstudium einige Male vor Verrechnern bewahrt.

Der Reißverschluss-Vergleich von Markus trifft's ziemlich gut, den merk ich mir. Von meiner Seite noch ein praktisches Beispiel, das mir aus dem Austausch mit Maschinenbau-Kommilitonen hängen geblieben ist: Transformationsmatrizen bei Bewegungen von Robotern oder Bauteilen.

Da hat man z.B. eine Rotationsmatrix R (3x3) und einen Punktvektor p (3x1), um den Punkt zu drehen. R·p geht, weil Spalten von R (3) = Zeilen von p (3). Ergebnis ist wieder 3x1, also ein transformierter Punkt. Soweit unspektakulär.

Interessant wird's, wenn man mehrere Transformationen hintereinander ausführt, z.B. erst drehen (R), dann verschieben/skalieren (T). Dann rechnet man T·R·p, und zwar in exakt dieser Reihenfolge, von rechts nach links gelesen als "erst R anwenden, dann T". Vertauscht man zu R·T·p, kommt bei nicht-kommutativen Transformationen (Rotation + Translation z.B.) ein komplett anderes Ergebnis raus, weil geometrisch "erst drehen, dann verschieben" etwas anderes ist als "erst verschieben, dann drehen".

Deshalb in der Klausur: Dimensionen checken reicht nicht, die Reihenfolge hat bei sowas auch eine inhaltliche Bedeutung, nicht nur eine rechnerische. Lohnt sich, sich das bildlich vorzustellen statt nur stur die Regel anzuwenden, dann bleibt's besser hängen.