Matrizen multiplizieren – wann geht das überhaupt, und worauf muss ich bei der Reihenfolge achten?

TimDual

Ich sitze gerade an alten Klausuraufgaben zur linearen Algebra (Grundlagenmodul, läuft parallel zu den Mathe-Vorlesungen im dualen Studium) und merke, dass ich bei Matrizenmultiplikation immer wieder kurz zögern muss, ob das Produkt überhaupt definiert ist.

Mein aktueller Stand: Ich weiß, dass die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten übereinstimmen muss, und dass A·B nicht gleich B·A sein muss. Soweit die Theorie. Nur unter Zeitdruck in der Klausur vertue ich mich ständig, welche Dimension wohin gehört, gerade wenn die Matrizen nicht quadratisch sind.

Konkrete Fragen an euch:

Gibt es eine verlässliche Eselsbrücke, mit der man sich die Reihenfolge (Zeilen x Spalten) merken kann, ohne jedes Mal nachzudenken?
Wie prüft ihr am schnellsten, welche Dimension die Ergebnismatrix hat?
Rechnet ihr in der Klausur die Dimensionen immer explizit hin, bevor ihr überhaupt mit dem Multiplizieren anfangt, oder macht ihr das "im Kopf" mit?

Freue mich über Tipps, die sich auch unter Zeitdruck in der Klausur anwenden lassen.

Mathe_Marco

Hey Tim, kenn ich gut, das war bei mir im ersten Semester auch die Fehlerquelle Nummer 1 unter Zeitdruck 😄 Meine Eselsbrücke: Schreib dir die Dimensionen immer als "(Zeilen x Spalten)" direkt unter die Matrix, so wie man das auch in Büchern sieht. Dann stellst du A und B nebeneinander:

A ist (m x n), B ist (p x q). Die beiden "inneren" Zahlen (n und p) müssen gleich sein – das ist deine Bedingung. Die "äußeren" Zahlen (m und q) ergeben dann die Dimension vom Ergebnis.

Kleines Beispiel: A ist 2x3, B ist 3x4. Innere Zahlen (3 und 3) passen zusammen, also geht's. Ergebnis ist dann 2x4 (die äußeren Zahlen). Wäre B dagegen 4x3, würd's nicht klappen, weil 3 (Spalten A) ≠ 4 (Zeilen B).

Zur Reihenfolge B·A: einfach nochmal dieselbe Regel anwenden, aber jetzt mit B zuerst. Da prüfst du halt die Spalten von B gegen die Zeilen von A – das kann komplett andere Ergebnisse liefern oder sogar undefiniert sein, obwohl A·B ging.

Zu deiner letzten Frage: Ja, ich schreib die Dimensionen in der Klausur IMMER explizit hin, kostet 5 Sekunden und erspart dir doofe Fehler beim Verrechnen mitten in der Rechnung. Lieber einmal kurz checken als am Ende feststellen, dass du Äpfel mit Birnen multipliziert hast 🙂

Merksatz: "Innen gleich, außen bleibt" – innen muss übereinstimmen, außen ergibt die neue Form.

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