Gewinnmaximum über die Ableitung – warum setze ich f'(x) = 0, und woran erkenne ich, dass es wirklich ein Maximum ist?

Die Frage ist gut, weil genau da der Groschen fallen muss – danach sind diese Aufgaben Routine.

Was die Ableitung überhaupt misst: f'(x) ist die Steigung der Funktion an der Stelle x, nicht ihr Wert. Solange die Gewinnfunktion steigt, ist f'(x) > 0 – jede zusätzliche Einheit bringt noch etwas. Solange sie fällt, ist f'(x) < 0. Am höchsten Punkt kippt die Steigung von positiv nach negativ, und genau dort ist sie null: die Tangente liegt waagerecht. Deshalb ist f'(x) = 0 die notwendige Bedingung – ein Hochpunkt muss das erfüllen. Sie ist aber nicht hinreichend, denn ein Tiefpunkt und ein Sattelpunkt erfüllen sie auch.

Deshalb die zweite Ableitung: f''(x) beschreibt, wie sich die Steigung ändert.

• f''(x) < 0 → Steigung wird kleiner, die Kurve ist rechtsgekrümmt → Maximum
• f''(x) > 0 → Steigung wird größer, linksgekrümmt → Minimum
• f''(x) = 0 → noch keine Aussage, dann über den Vorzeichenwechsel von f'(x) argumentieren (links davon +, rechts davon − bedeutet Maximum)

Weglassen solltest du sie nicht: In fast jedem Erwartungshorizont steht „Nachweis der Art des Extremums“ als eigener Punkt. Das sind zwei Zeilen, die du geschenkt bekommst.

Deine Aufgabe konkret:

1. Erlösfunktion: E(x) = p(x) · x = (100 − 2x) · x = 100x − 2x²
2. Gewinnfunktion: G(x) = E(x) − K(x) = 100x − 2x² − (2x² + 20x + 50) = −4x² + 80x − 50
3. Ableiten und null setzen: G'(x) = −8x + 80 = 0 → x = 10
4. Art prüfen: G''(x) = −8 < 0 → Maximum ✓
5. Preis nicht vergessen: p(10) = 100 − 2 · 10 = 80 €
6. Gewinn: G(10) = −400 + 800 − 50 = 350 €

Das Wertepaar (10 Stück; 80 €) ist übrigens der Cournot-Punkt. Wenn in der Aufgabe danach gefragt wird, ist genau diese Kombination aus Menge und Preis gemeint – die Menge allein reicht nicht.

Kleiner Zusatz für die Sicherheit: Prüfe immer, ob dein x im sinnvollen Definitionsbereich liegt (x ≥ 0, oft zusätzlich eine Kapazitätsgrenze). Wenn das rechnerische Maximum außerhalb liegt, ist die Lösung der Randwert, nicht die Nullstelle der Ableitung.

Ergänzend zu Marcos Rechnung der Teil, der dich inhaltlich verwirrt hat – das mit dem Grenzerlös. Das ist keine zweite Methode, sondern dieselbe Gleichung, nur anders sortiert.

G(x) = E(x) − K(x), also G'(x) = E'(x) − K'(x). Wenn du G'(x) = 0 setzt, steht da nichts anderes als

E'(x) = K'(x), also Grenzerlös = Grenzkosten.

Probe mit deinen Zahlen: E'(x) = 100 − 4x, K'(x) = 4x + 20. Gleichsetzen: 100 − 4x = 4x + 20 → 80 = 8x → x = 10. Exakt dasselbe Ergebnis wie über G'(x) = 0.

Ökonomisch gelesen ist das sogar die anschaulichere Variante: Solange die nächste produzierte Einheit mehr Erlös bringt als sie an Kosten verursacht (E' > K'), lohnt sie sich – du produzierst weiter. Sobald sie mehr kostet als sie bringt (E' < K'), machst du dich ärmer. Der Umschlagpunkt dazwischen ist das Gewinnmaximum. Wenn du in der Klausur eine Begründung schreiben sollst, nimm diesen Satz, nicht die Tangentengeschichte – der zeigt, dass du verstanden hast, was gerechnet wird.

Zwei Dinge, die oft in derselben Aufgabe drankommen und gern verwechselt werden:

• Gewinnschwelle und Gewinngrenze sind die Nullstellen von G(x), nicht die Nullstelle von G'(x). Bei dir: −4x² + 80x − 50 = 0 → x² − 20x + 12,5 = 0 → x = 10 ± √(100 − 12,5) ≈ 0,65 und ≈ 19,35. Dazwischen liegt die Gewinnzone, in der Mitte das Maximum. Merksatz: G = 0 fragt nach der Zone, G' = 0 nach dem Gipfel.
• Betriebsoptimum ist nochmal etwas anderes – dort werden nicht die Gewinne maximiert, sondern die Stückkosten k(x) = K(x)/x minimiert. Andere Funktion, andere Ableitung, anderes Ergebnis. Nicht durcheinanderbringen, das kostet regelmäßig Punkte.

Wenn du üben willst: Nimm dieselbe Aufgabe und ändere nur die Fixkosten von 50 auf 200. Du wirst sehen, dass sich die gewinnmaximale Menge nicht ändert (Fixkosten fallen beim Ableiten weg), wohl aber der Gewinn und die Gewinnzone. Das ist ein sehr beliebter „Erklären Sie“-Zusatz.

Aus Korrektursicht noch das Handwerkliche – die Punkte gehen selten am Verständnis verloren, sondern an der Form.

• Definitionsbereich hinschreiben. x ≥ 0, bei Kapazitätsangaben zusätzlich die Obergrenze. Ein Satz genügt, aber er zeigt, dass du weißt, dass negative Stückzahlen keine Lösung sind.
• Nachweis der Extremwertart nie weglassen, auch wenn das Ergebnis offensichtlich ist. „G''(10) = −8 < 0, also Maximum“ – fertig.
• Zurück in die Ausgangsfunktion einsetzen. Der mit Abstand häufigste Fehler ist, nach x aufzuhören. Gefragt sind meist Menge, Preis und Gewinn. Der Preis kommt aus p(x), nicht aus G(x).
• Runden erst am Ende und bei Stückzahlen mitdenken: Wenn nur ganze Einheiten produzierbar sind, beide Nachbarwerte einsetzen und den mit dem höheren Gewinn nehmen – nicht einfach kaufmännisch runden.
• Einheiten dranschreiben (Stück, €). Kostet nichts und rettet bei Folgefehlern die Nachvollziehbarkeit.

Und ein Realitätshinweis, der in mündlichen Prüfungen gern kommt: In der Praxis kennt niemand die exakte Preis-Absatz-Funktion. Was aus dem Modell trotzdem bleibt, ist die Entscheidungsregel am Rand – ob sich die nächste Einheit, der nächste Auftrag, die nächste Schicht noch rechnet. Genau deshalb rechnet man im Controlling mit Grenzbetrachtungen und nicht mit Durchschnittswerten. Wer das in zwei Sätzen sagen kann, hat die Transferfrage sicher.

Für die Vorbereitung würde ich dir raten, drei Aufgabentypen sauber zu trennen und je einmal komplett durchzurechnen: Gewinnmaximum (G' = 0), Gewinnzone (G = 0) und Kostenminimum bzw. Betriebsoptimum (k' = 0). Wenn du die drei auseinanderhältst, deckst du damit erfahrungsgemäß den größten Teil der Extremwertaufgaben ab.