Normalverteilung: Wozu die z-Transformation, und wie lese ich die Tabelle richtig ab?

Deine drei Fragen hängen alle am selben Punkt, deshalb der Reihe nach.

1. Warum nur eine Tabelle? Alle Normalverteilungen haben dieselbe Glockenform – sie unterscheiden sich nur darin, wo sie liegen (μ) und wie breit sie sind (σ). Die z-Transformation verschiebt und staucht die Verteilung auf einen Standard: μ = 0, σ = 1. Das ist genau wie das Umrechnen in Prozent: Man muss nicht für jede Grundgesamtheit eine eigene Tabelle drucken, wenn man vorher auf eine gemeinsame Skala bringt.

Die Formel ist z = (x − μ) / σ, und sie liest sich wörtlich: „Wie viele Standardabweichungen liegt mein Wert x vom Mittelwert entfernt?“ z = 1,2 heißt also: 1,2 Standardabweichungen über dem Durchschnitt. Das Vorzeichen sagt nur, auf welcher Seite.

2. Was steht in der Tabelle? In der üblichen Tabelle steht Φ(z), die Wahrscheinlichkeit von links bis z, also P(Z ≤ z). Immer kumuliert, immer von −∞ kommend. Deshalb:

• P(X ≤ x) → direkt Φ(z) ablesen
• P(X ≥ x) → 1 − Φ(z), weil die Gesamtfläche 1 ist
• P(a ≤ X ≤ b) → Φ(zb) − Φ(za), erst beide Grenzen standardisieren

3. Negative z-Werte. Die fehlen nicht, sie sind nur überflüssig – die Glocke ist symmetrisch. Es gilt Φ(−z) = 1 − Φ(z). Beispiel: Φ(−1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151. Wer das einmal an einer Skizze nachvollzogen hat, verwechselt es nie wieder.

Ein Durchlauf: Eine Maschine füllt im Schnitt μ = 500 g ab, σ = 50 g. Wie wahrscheinlich sind höchstens 560 g? → z = (560 − 500)/50 = 1,2 → Φ(1,2) ≈ 0,8849, also rund 88,5 %. Und mindestens 560 g wären 1 − 0,8849 ≈ 11,5 %.

Plausibilitätskontrolle ohne Tabelle: In einer Normalverteilung liegen rund 68 % im Bereich μ ± 1σ, rund 95 % in μ ± 2σ und rund 99,7 % in μ ± 3σ. Wenn dein Ergebnis dazu im Widerspruch steht, hast du dich irgendwo vertan.

Ich ergänze die Rückrichtung, weil die in Klausuren fast genauso oft drankommt und dann alle überrascht sind.

Bei Marco war die Grenze gegeben und die Wahrscheinlichkeit gesucht. Genauso häufig ist es umgekehrt: „Welcher Wert wird mit 95 % Wahrscheinlichkeit nicht überschritten?“ Dann suchst du in der Tabelle im Inneren nach 0,95, liest den zugehörigen z-Wert ab (≈ 1,645) und rechnest zurück:

x = μ + z · σ

Das ist einfach die aufgelöste Standardisierungsformel. Bei μ = 500 und σ = 50 also 500 + 1,645 · 50 ≈ 582 g.

Der Klassiker beim Vertun: einseitig oder zweiseitig. Für „95 % nicht überschritten“ (einseitig) ist z ≈ 1,645, für „95 % liegen symmetrisch um den Mittelwert“ (zweiseitig) ist z ≈ 1,96 – weil dann links und rechts je 2,5 % abgeschnitten werden. Die Zahl 1,96 ist keine Zauberzahl, sie ist Φ(z) = 0,975.

Und ein Hinweis zur Tabelle selbst: Nicht jede Tabelle zeigt Φ(z). Manche Sammlungen drucken nur die Fläche zwischen 0 und z (dann musst du 0,5 addieren), andere die zweiseitige Fläche. Schau einmal in die Kopfzeile bzw. auf die kleine Skizze über der Tabelle, bevor du losrechnest – die Skizze sagt dir, welche Fläche gemeint ist. Das kostet zehn Sekunden und rettet die halbe Aufgabe.

Letzter Punkt: Wenn eine Aufgabe eine Binomialverteilung über die Normalverteilung annähert (Faustregel n·p·(1−p) > 9), gehört bei diskreten Werten die Stetigkeitskorrektur dazu – also nicht mit 6, sondern mit 6,5 bzw. 5,5 standardisieren, je nachdem ob „höchstens“ oder „mindestens“ gefragt ist.

Von der Handwerksseite noch drei Dinge, die bei mir in der Klausur Punkte gerettet haben:

• Immer eine Skizze machen. Glocke, Mittelwert markieren, Grenze eintragen, gesuchte Fläche schraffieren. Danach siehst du sofort, ob dein Ergebnis über oder unter 0,5 liegen muss – 90 % aller „1 − Φ vergessen“-Fehler fallen damit weg.
• Die Standardisierungszeile hinschreiben, auch wenn du sie im Kopf rechnen könntest. In den meisten Korrekturschemata gibt es dafür einen eigenen Punkt, und bei einem Zahlendreher greift die Folgefehlerregelung nur, wenn der Ansatz sichtbar ist.
• z auf zwei Nachkommastellen runden, weil die Tabelle nur so fein ist – und dann nicht zwischen den Zeilen interpolieren, außer die Aufgabe verlangt es ausdrücklich. Kleine Abweichungen in der vierten Stelle sind normal und werden nicht abgezogen.

Und weil es oben schon anklang: Die Verteilung muss auch normalverteilt sein. Bei „Anzahl der Ausschussstücke“ ist die Grundverteilung diskret, da steht die Normalverteilung nur als Näherung dahinter. Steht in der Aufgabe nichts von Näherung, ist meistens auch keine gemeint.