Determinante einer 3x3-Matrix – welche Regel ist am schnellsten?

Hey Tim, klassisches Dilemma, kenn ich aus eigener Klausurzeit noch gut. Meine Faustregel: Sarrus ist super, wenn die Matrix "dicht" ist, also überall Zahlen ohne Nullen stehen. Dann ist Sarrus fast immer schneller als Laplace, weil du nicht erst eine Zeile/Spalte suchen musst. Sobald aber eine Zeile oder Spalte mindestens eine Null hat, lohnt sich Laplace-Entwicklung nach genau dieser Zeile/Spalte, weil der Term mit der Null komplett wegfällt und du dir eine 2x2-Determinante sparst. Bei zwei Nullen in einer Zeile bist du teilweise in 10 Sekunden fertig.

Zu deinem Vorzeichenproblem bei Sarrus: Schreib dir die Matrix wirklich zweimal nebeneinander hin (erste zwei Spalten anhängen) und markiere dir die drei Hauptdiagonalen mit + und die drei Nebendiagonalen mit −. Wenn da schon negative Zahlen in der Matrix stehen, rechne lieber in zwei Schritten: erst alle sechs Produkte einzeln mit korrektem Vorzeichen aus der Matrix ausrechnen, dann erst die +/− Diagonalregel draufpacken. Nicht beides gleichzeitig im Kopf jonglieren, das ist die häufigste Fehlerquelle.

Als Kontrolle ohne Doppelrechnung: Entwickle Laplace nach einer anderen Zeile als der, die du "automatisch" nehmen würdest – wenn beide Ergebnisse übereinstimmen, passt's meistens. Dauert nur unwesentlich länger als eine Vollrechnung.

Marco hat das schon gut zusammengefasst, ich will nur noch einen Kniff ergänzen, der mir bei Sarrus geholfen hat, als ich selbst ständig die Vorzeichen verhauen habe.

Ich schreibe mir die Vorzeichen nicht erst am Ende dazu, sondern baue sie von Anfang an als festes Schema über die Zahlen. Konkret mache ich das so:

• Matrix zweimal nebeneinander, wie Marco beschrieben hat.
• Über jede der drei Hauptdiagonalen schreibe ich klein ein "+", über jede Nebendiagonale ein "−", bevor ich überhaupt irgendetwas ausrechne.
• Erst danach setze ich die Produkte ein, inklusive der Vorzeichen, die schon in der Matrix stehen. Also z.B. (−2)·5·(−3) als ein Produkt, nicht in Einzelschritten im Kopf.
• Am Ende steht da eine Kette aus plus und minus, die ich stur von links nach rechts abarbeite, ohne nochmal zu überlegen, "war das jetzt eine Haupt- oder Nebendiagonale".

Der Trick dahinter: Du trennst das Erkennen des Vorzeichens (Diagonale ja/nein) komplett vom Rechnen mit negativen Zahlen in der Matrix. Genau diese Vermischung ist bei mir früher die Fehlerquelle gewesen, vor allem unter Zeitdruck in der Klausur.

Zur Kontrolle nutze ich übrigens gern die Eigenschaft, dass sich die Determinante nicht ändert, wenn ich eine Zeile mit einem Vielfachen einer anderen addiere. Damit kann ich mir vor dem Sarrus noch schnell eine Null in die Matrix "zaubern" und hinterher mit Laplace querchecken.