Exponentielles Wachstum berechnen – wie bestimme ich die Verdopplungszeit?

Hi Tim, dein Ansatz ist schon völlig richtig, du musst nur konsequent weitermachen. Also ab hier:

2 = e^(k*t)

Jetzt ln auf beide Seiten, und zwar genau an dieser Stelle, nicht früher – vorher hast du ja noch die 2 nicht isoliert. Das Schöne: ln und e heben sich auf der rechten Seite gegenseitig auf, weil ln(e^x) = x ist. Also:

ln(2) = k*t

Und jetzt stellst du nach t um, weil t ja die gesuchte Verdopplungszeit ist (k ist dir ja schon gegeben):

t = ln(2) / k

Das ist deine fertige Formel für die Verdopplungszeit. ln(2) ≈ 0,693, das lohnt sich zu merken, dann geht’s noch schneller 😉

Zu deiner zweiten Frage: Ja, das macht einen Unterschied! k muss als Dezimalzahl (also die sogenannte stetige Wachstumsrate) in die Formel, nicht als Prozentsatz. Wenn in der Aufgabe z. B. "5 % Wachstum pro Jahr" steht, dann ist k = 0,05 und nicht 5. Typischer Fehler an der Stelle: Leute rechnen mit k = 5 weiter und wundern sich, warum die Verdopplungszeit absurd kurz rauskommt.

Noch ein Hinweis: Falls deine Aufgabe mit diskretem Wachstum (N(t) = N0 * (1+p)^t) arbeitet statt mit e-Funktion, sieht die Formel etwas anders aus (t = ln(2)/ln(1+p)). Schau also nochmal genau, welcher Wachstumstyp in deiner Aufgabenstellung gemeint ist.

Marco hat das schon super erklärt, ich geb euch noch ein Zahlenbeispiel zur Kontrolle, bei mir klickt's am ehesten, wenn ich konkret durchrechne.

Angenommen k = 0,07 (also 7% stetiges Wachstum). Dann:

t = ln(2) / 0,07 = 0,693 / 0,07 ≈ 9,9

Also verdoppelt sich der Bestand nach knapp 10 Zeiteinheiten. Check: N(9,9) = N0 * e^(0,07*9,9) = N0 * e^0,693 = N0 * 2 ✓ passt.

Noch ein kleiner Merksatz aus der Praxis, den ich mir für die Faustregel gemerkt habe (auch wenn das streng genommen für diskretes Wachstum gedacht ist, als grobe Näherung funktioniert's auch bei kleinen k ganz gut): die 70er-Regel. Verdopplungszeit ≈ 70 / (Wachstumsrate in Prozent). Bei 7% also 70/7 = 10 – passt super zu meinem Ergebnis oben.

Zu Timst Frage mit Prozent vs. Dezimalzahl: Ich schreib mir bei solchen Aufgaben immer explizit hin "k = 0,07 (= 7%)", bevor ich überhaupt in die Formel einsetze. Klingt banal, aber genau da passieren die meisten Fehler in Klausuren, wenn man unter Zeitdruck ist.

Falls jemand noch testen will: bei k = 0,02 (2%) kommt t ≈ 34,7 raus – auch das passt zur 70er-Regel (70/2 = 35, kleine Abweichung wegen der Rundung von ln(2)).