Partielle Integration oder Substitution – wie erkenne ich beim Integrieren das richtige Verfahren?

Hi Tim, dein Beispiel x*e^(x²) ist eigentlich genau der Fall, an dem man die Faustregel super festmachen kann: Check immer zuerst, ob die Ableitung des "inneren" Teils im Integral schon (bis auf Konstante) als Faktor rumliegt. Bei x*e^(x²) ist die innere Funktion x², ihre Ableitung ist 2x – und siehe da, ein x steht ja schon vorne dran. Das ist das Signal für Substitution: u = x², du = 2x dx.

Bei x*sin(x) funktioniert das nicht, weil sin(x) keine verkettete Funktion mit x als "innerem Kern" ist, dessen Ableitung passt. Da hast du einfach ein Produkt aus zwei strukturell verschiedenen Funktionstypen (Polynom mal trigonometrische Funktion) – und genau das ist das Signal für partielle Integration. Faustregel: Produkt zweier "unabhängiger" Funktionstypen → partiell, eine Funktion verkettet mit einer anderen, deren Ableitung als Faktor dasteht → Substitution.

Bei ln(x) alleine ist der Trick, dass man es als 1 * ln(x) liest – also quasi ein Produkt erzwingt, bei dem du u = ln(x) und dv = 1 dx setzt. Klingt komisch, ist aber Standard.

Kleiner Merksatz von mir: Wenn du nach 1 Minute Hinschauen keine "passende Ableitung" im Integral findest, ist es wahrscheinlich partielle Integration. Und bei partieller Integration hilft die Eselsbrücke LIATE (Log, Inverse trig, Algebra, Trig, Exp) für die Wahl von u. Übung macht's, nach ein paar Dutzend Aufgaben siehst du es fast automatisch 😉

Marco hat das mit der Ableitungs-Probe schon sehr gut auf den Punkt gebracht, das ist auch bei mir der erste Blick geworden. Ich ergänze noch einen Praxis-Tipp aus der Elektrotechnik, da taucht sowas ständig bei Übertragungsfunktionen oder bei der Berechnung von Effektivwerten auf.

Ein Beispiel, das mir lange Kopfzerbrechen bereitet hat: das Integral über t * e^(-t) für eine Einschwingfunktion. Da sieht man auf den ersten Blick keine "passende innere Ableitung", weil e^(-t) nicht verkettet ist mit irgendwas, dessen Ableitung schon als Faktor dasteht. Das ist also klar partielle Integration, LIATE sagt dir dann auch gleich: t ist Algebra, also u = t, dv = e^(-t) dt.

Mein praktischer Rat für die Klausur, gerade wenn die Zeit knapp ist: Wenn euch nach kurzem Hinschauen kein Muster auffällt, einfach eines der beiden Verfahren konsequent durchziehen – notfalls auch mal probeweise substituieren und schauen, ob sich das Integral dadurch vereinfacht oder komplizierter wird. Wenn nach dem Einsetzen noch ein "hässliches" x oder t übrig bleibt, das sich nicht wegkürzt, ist das ein klares Zeichen, dass Substitution der falsche Weg war und man auf partielle Integration wechseln sollte. Diese Rückmeldung aus dem eigenen Rechenweg ist oft schneller als ewig am Anfang zu grübeln.