Bedingte Wahrscheinlichkeit und Bayes – warum ist ein positiver Test bei einem 99-%-Verfahren trotzdem kein Beweis?

Gute Nachricht: Du hast dich nicht verrechnet. Deine 9 % sind richtig – und genau deshalb ist diese Aufgabe ein Klassiker. 🙂

Der Kern ist der Punkt aus deiner zweiten Frage: P(A|B) und P(B|A) sind zwei völlig verschiedene Dinge. Der Test garantiert dir P(positiv | krank) = 99 %. Gefragt ist aber P(krank | positiv). Diese Verwechslung ist so verbreitet, dass sie einen eigenen Namen hat – in der Kriminalistik heißt sie „Prosecutor's Fallacy“.

Formal ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert als P(A|B) = P(A∩B) / P(B) – also: Der Nenner ist nicht mehr die ganze Bevölkerung, sondern nur noch der Teil, der die Bedingung erfüllt. Daraus folgt der Satz von Bayes:

P(krank | positiv) = P(positiv | krank) × P(krank) / P(positiv), wobei sich der Nenner nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit zusammensetzt aus P(positiv|krank)×P(krank) + P(positiv|gesund)×P(gesund).

Viel anschaulicher wird es mit natürlichen Häufigkeiten – nimm einfach 100.000 Menschen statt Prozentzahlen:

• 0,1 % sind krank → 100 Kranke und 99.900 Gesunde
• von den 100 Kranken testen 99 % positiv → 99 richtig Positive
• von den 99.900 Gesunden testen 1 % fälschlich positiv → 999 falsch Positive
• insgesamt positiv: 99 + 999 = 1.098
• davon tatsächlich krank: 99 / 1.098 ≈ 9,0 %

Damit ist die Sache sofort einleuchtend: Es gibt so unfassbar viel mehr Gesunde als Kranke, dass die seltenen Fehler in der großen Gruppe zahlenmäßig die häufigen Treffer in der kleinen Gruppe überholen. Ein Prozent von 99.900 ist eben ein Vielfaches von 99 Prozent von 100.

Mein Rat für die Klausur: Zeichne bei jeder Bayes-Aufgabe eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm mit absoluten Zahlen und wähle die Gesamtzahl so, dass keine Kommastellen entstehen (bei 0,1 % also 100.000). Dann brauchst du die Formel praktisch gar nicht mehr – du liest das Ergebnis ab und kannst die Formel hinterher zur Kontrolle danebenschreiben. Und zur Erkennung: Steht in der Aufgabe „unter der Bedingung, dass“, „von den positiv Getesteten“ oder „wenn bereits bekannt ist, dass“, dann ist das Wort direkt nach dieser Formulierung die Bedingung – und die gehört hinter den Strich.

Marco hat die Rechnung, ich hänge die Begriffe an, weil sie in Wiwi-Klausuren gern zusätzlich abgefragt werden – und weil das Ganze weit über Medizin hinausgeht.

Die vier Kennzahlen der Vierfeldertafel:

• Sensitivität = P(positiv | krank) – die Trefferquote
• Spezifität = P(negativ | gesund)
• Positiver Vorhersagewert (PPV) = P(krank | positiv) – genau das, was in Sophies Aufgabe gesucht war
• Negativer Vorhersagewert = P(gesund | negativ)

Der entscheidende Merksatz: Sensitivität und Spezifität sind Eigenschaften des Tests, der Vorhersagewert ist es nicht. Der PPV hängt zusätzlich von der Grundrate ab – derselbe Test ist in einer Risikogruppe brauchbar und im Reihenscreening der Gesamtbevölkerung fast wertlos. Die Vernachlässigung dieser Grundrate heißt Base-Rate-Neglect und ist einer der stabilsten Denkfehler überhaupt.

Wirtschaftlich ist das alles andere als graue Theorie:

• Betrugserkennung im Zahlungsverkehr: Wenn 0,05 % der Transaktionen betrügerisch sind, erzeugt ein „99 % genauer“ Algorithmus zwangsläufig überwiegend Fehlalarme – jeder davon kostet Bearbeitung und verärgert Kundschaft.
• Bewerber-Screening und Assessment-Tests: Wenn nur wenige Bewerber wirklich ungeeignet sind, filtert ein guter Test trotzdem mehrheitlich geeignete Leute heraus.
• Qualitätskontrolle: Bei einer Ausschussquote von 0,2 % sind die meisten „schlechten“ Prüfergebnisse Fehlmessungen – deshalb wird in der Praxis nachgeprüft, statt sofort auszusortieren.

Und noch drei Signalwörter fürs Handwerkliche, die mir viel Zeit sparen: „und dann“ → Multiplikationssatz (Pfadregel entlang eines Astes); „oder“ → Additionssatz (bei nicht disjunkten Ereignissen den Schnitt abziehen); „mindestens ein“ → über das Gegenereignis rechnen, also 1 − P(keins). Und auf Unabhängigkeit prüfst du nur über P(A∩B) = P(A) × P(B) – nicht über das Bauchgefühl, ob die Ereignisse „irgendwie zusammenhängen“. Bei Bayes-Aufgaben sind die Ereignisse übrigens fast nie unabhängig; wären sie es, wäre der Test ja nutzlos. 🙂

Danke für die Erklärung, das Thema hat mich in der Statistik-Klausur damals auch erwischt. Was mir am meisten geholfen hat: die Aufgabe nicht in Prozenten, sondern in absoluten Häufigkeiten aufzuschreiben.

Also statt „99 % Trefferquote, 1 % Krankheitshäufigkeit“ einfach 10.000 Personen hinlegen:

• 100 sind tatsächlich krank, davon werden 99 positiv getestet.
• 9.900 sind gesund, davon werden bei 1 % Falsch-Positiv-Rate 99 ebenfalls positiv getestet.

Damit hast du 198 positive Tests, von denen nur 99 wirklich krank sind – also rund 50 %. Ohne eine einzige Formel, und man sieht sofort, warum das so ist: Die kleine Fehlerquote wirkt auf eine riesige Gruppe Gesunder, die hohe Trefferquote nur auf eine winzige Gruppe Kranker.

Wenn in der Klausur dann doch die Formel verlangt wird, ist der Baum trotzdem die beste Kontrolle – die beiden Zahlen im Nenner sind genau die zwei Äste, die zu „positiv“ führen.