Erwartungswert einer Zufallsvariablen – wie berechne ich, was „im Schnitt“ rauskommt?

TimDual

Servus, in Statistik kam der Erwartungswert dran und ich hab die Formel E(X) = Σ xᵢ · P(xᵢ) im Skript, aber mir fehlt das Gefühl, was das eigentlich sagt. Ist das einfach der Durchschnitt? Und wie rechne ich das an einem Beispiel, z. B. bei einem Spiel? 🎲

Mathe_Marco

Guter Punkt – der Erwartungswert ist der mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse. Also nicht „(Summe der Werte)/Anzahl“, sondern jeder Wert zählt so stark, wie er wahrscheinlich ist.

Würfel-Beispiel: Werte 1–6, jeweils P = 1/6.

E(X) = 1·⅙ + 2·⅙ + … + 6·⅙ = 21/6 = 3,5.

Deutung: Wenn du sehr oft würfelst, pendelt sich der Mittelwert deiner Augenzahlen bei 3,5 ein. Dass 3,5 selbst nie fällt, ist völlig okay – es ist ein langfristiger Durchschnitt, kein einzelnes Ergebnis.

RobertM

Und genau für „lohnt sich das Spiel?“ ist der Erwartungswert das Werkzeug. Beispiel: Los kostet 2 €, mit P = 0,1 gewinnst du 15 €, sonst nichts.

Erwarteter Gewinn (Auszahlung): 0,1 · 15 + 0,9 · 0 = 1,50 €.
Abzüglich Einsatz: 1,50 − 2,00 = −0,50 € pro Los.

Im Schnitt verlierst du also 50 Cent pro Los → auf Dauer ein Minusgeschäft (genau davon leben Lotterien 😄). Ist der erwartete Netto-Gewinn positiv, ist das Spiel „fair zu deinen Gunsten“, bei null spricht man von einem fairen Spiel. Kleiner Hinweis fürs Weiterlernen: Der Erwartungswert sagt nichts über das Risiko – dafür kommt später die Varianz dazu.

Erwartungswert einer Zufallsvariablen – wie berechne ich, was „im Schnitt“ rauskommt?

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