Wahrscheinlichkeit mit und ohne Zurücklegen – wann ändert sich der Nenner?

TimDual

Servus, ich hab bei Wahrscheinlichkeitsaufgaben ein wiederkehrendes Problem: Manchmal bleibt der Nenner beim Baumdiagramm gleich, manchmal wird er von Zug zu Zug kleiner. Das hängt wohl an „mit“ vs. „ohne Zurücklegen“, aber ich erkenne im Aufgabentext oft nicht, welcher Fall vorliegt.

Konkret: In einer Urne sind 10 Kugeln, davon 4 rote. Wie ändert sich die Rechnung für „zwei rote hintereinander“, je nachdem ob ich zurücklege oder nicht? Und woran erkenne ich den Fall?

Mathe_Marco

Das lässt sich an deinem Urnenbeispiel super zeigen 🙂 10 Kugeln, davon 4 rot.

Mit Zurücklegen: Nach dem ersten Zug legst du die Kugel zurück – die Urne ist wieder wie vorher. Also P(rot) bleibt bei jedem Zug 4/10. Für zwei rote: 4/10 · 4/10 = 16/100 = 0,16.
Ohne Zurücklegen: Die gezogene Kugel fehlt beim zweiten Zug. Erster Zug 4/10, danach sind nur noch 9 Kugeln und 3 rote übrig → zweiter Zug 3/9. Für zwei rote: 4/10 · 3/9 = 12/90 ≈ 0,133.

Der Kern: Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich für den nächsten Zug Zähler und Nenner (eine rote weg → 3, eine Kugel weg → 9). Die Ereignisse sind dann abhängig. Mit Zurücklegen sind sie unabhängig, jeder Zug startet bei den Ausgangswerten.

RobertM

Zur Erkennungsfrage – der Aufgabentext verrät es fast immer über Signalwörter:

Ohne Zurücklegen: „gleichzeitig ziehen“, „eine Stichprobe entnehmen“, „auf einen Griff“, „verschiedene Personen auswählen“. Sobald ein Objekt nicht doppelt vorkommen kann, ist es ohne Zurücklegen.
Mit Zurücklegen: „Würfeln“, „mehrmals drehen“, „mit Wiederholung“, oder wenn die Grundgesamtheit riesig ist (dann macht ein fehlendes Stück praktisch keinen Unterschied).

Und für später der Anschluss an die Verteilungen: mit Zurücklegen (feste Wahrscheinlichkeit pro Versuch) führt auf die Binomialverteilung, ohne Zurücklegen auf die hypergeometrische Verteilung. Bei großer Grundgesamtheit darf man die hypergeometrische näherungsweise durch die Binomialverteilung ersetzen – dann ist der Unterschied vernachlässigbar.

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