Lagrange-Multiplikator

Zu lang ist's her von daher schau mal hier:

:hand: http://www.pik-potsdam.de/~cjaeger/teach…es_lagrange.pdf

Dort sind eigentlich die Schritte erklärt, solltest per Google genügend finden.

Gruß
Markus

Hallo,
also ich würde das vom Ansatz her so machen, solltest das auf jeden Fall nochmal nachrechenen weil ich gerade nen bischen in Eile bin. Könnte gut sein das ich mich da verrechnet habe ;).

1.) Aufstellen der Langrange Funktion:
[latex]L = x^2 + y^2 + z + \lambda (1- x^2 - 2y^2 - 4z^2)[/latex]

2.) Bestimmung der partiellen Ableitungen
I [latex] \frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 2 \lambda x [/latex]
II [latex] \frac{\partial L}{\partial y} = 2y - 4 \lambda y[/latex]
III [latex]\frac{\partial L}{\partial z} = 1 - 8 \lambda z[/latex]
IV[latex]\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 1 - x^2 - 2y^2 - 4z^2[/latex]

3.) Null setzen der Gleichungen und auflösen des Gleichungssystems
I': (aus I) [latex]2x(1- \lambda) = 0 \Rightarrow x = 0 v \lambda = 1[/latex]
II': (aus II)[latex] 2y(1 - 2 \lambda) = 0 \Rightarrow y = 0 v \lambda = \frac{1}{2}[/latex]
III': ( aus III)[latex] z = \frac{1}{8\lambda}[/latex]
Jetzt machst du eine Fallunterscheidung:

1.) [latex]x = 0[/latex]
i.) [latex]y = 0[/latex]
Einsetzen in IV:
[latex] 1 - 0 - 0- 4 ( \frac{1}{8\lambda})^2 = 0[/latex]
****************************************************
NEU:

[latex] \Rightarrow ( \frac{1}{8\lambda})^2 = \frac{1}{4} [/latex]
[latex] \Rightarrow \frac{1}{8\lambda} =\pm \sqrt{ \frac{1}{4}} [/latex]
[latex] \Rightarrow z = \pm \frac{1}{2}[/latex]
1 Punkt:[latex] ( 0,0,\frac{1}{2})[/latex]
2 Punkt:[latex] ( 0,0,-\frac{1}{2})[/latex]

ii.)[latex] y \not= 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}[/latex]
Einsetzen in III':[latex] z = \frac{1}{4}[/latex]
Einsetzen in IV: [latex]1 - 0 - 2y^2 - 4 ( \frac{1}{4} )^2 = 0[/latex]
[latex] \Rightarrow y = \sqrt{\frac{3}{8}}[/latex]
3.Punkt:[latex] (0, \sqrt{\frac{3}{8}}, \frac{1}{4})[/latex]

2.) [latex]x \not=0 \Rightarrow \lambda = 1[/latex]
[latex] \Rightarrow y = 0[/latex]
[latex] \Rightarrow z = \frac{1}{8}[/latex]
Einsetzen in IV: [latex]1 - x^2 - 0 - 4 ( \frac{1}{8} )^2 = 0[/latex]
[latex] \Rightarrow x = \sqrt{\frac{15}{16}}[/latex]
[latex] \Rightarrow x = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}}[/latex]
[latex] \Rightarrow x = \frac{1}{4} \sqrt{15}[/latex]
4.Punkt:[latex](\frac{1}{4}\sqrt{15},0, \frac{1}{8})[/latex]

4. Einsetzen der 3 Punkte in f(x,y,z)
1.Punkt: f = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
2.Punkt: f = [latex]-\frac{1}{2}[/latex] (min)
3.Punkt: f = [latex]\frac{5}{8}[/latex]
4.Punkt: f = 1 (max)

So ich hoffe das das richtig ist und es dir hilf
Marcel

hi,
Stimmt. Du hast recht, da habe ich mich verrechnet. War nen bischen in Hektik, sry :).
Ich überarbeite das dann mal. Die Anmerkung von dir aus dem Buch verstehe ich nicht so ganz, ist doch dann das gleiche Ergebnis.
Marcel

Neu
Hi,
ja die negativen Wuirzeln habe ich nicht brücksichtigt, weill die eh wieder quadriert werden und das ganze dann keine Rolle mehr spielt.
So habe mir das nochmal nageschaut und jetzt auch den fehler gefunden :).

Habe das mal in dem anderen Beitrag hineingeschrieben. Hoffe jetzt stimmt alles.*puh*
Marcel

hi,
steht oben in dem anderen beitrag, was ich zu sagen habe