Konfidenzintervall – was heißt „95 %“ da eigentlich genau, und wie rechne ich es aus?

Deine Fußnote hat recht, und der Unterschied ist wirklich nicht bloß Wortklauberei. Fangen wir mit der Rechnung an, dann wird die Interpretation von selbst klar.

Ein Konfidenzintervall ist immer nach demselben Muster gebaut:

Punktschätzer ± Sicherheitsfaktor × Standardfehler

Bei einem Mittelwert ist der Punktschätzer dein x̄ = 3,8 und der Standardfehler s ÷ √n. Der Standardfehler ist die entscheidende Größe: nicht die Streuung der einzelnen Antworten, sondern die Streuung des Mittelwerts, wenn man die Umfrage immer wieder neu ziehen würde. Mit 100 Befragten und angenommener Streuung s = 1,0 ist er 1,0 ÷ 10 = 0,1.

Die 1,96 kommen aus der Standardnormalverteilung: zwischen −1,96 und +1,96 liegen genau 95 % der Fläche, je 2,5 % bleiben an den Rändern. Deshalb tauchen für andere Niveaus andere Werte auf – 1,645 für 90 %, 2,576 für 99 %. Man liest sie als Quantil zu 1 − α/2 ab.

Zusammengesetzt: 3,8 ± 1,96 × 0,1 = 3,8 ± 0,196, also etwa [3,60; 4,00]. Genau dein Skript-Ergebnis.

Jetzt die Interpretation, und die hängt direkt daran: gerechnet wurde mit der Streuung möglicher Stichproben, nicht mit einer Wahrscheinlichkeit für den wahren Wert. Der wahre Mittelwert ist eine feste Zahl, die wackelt nicht – dein Intervall wackelt. Korrekt heißt es deshalb: Das Verfahren liefert Intervalle, die in 95 von 100 Fällen den wahren Wert überdecken. Dein konkretes Intervall gehört entweder zu den 95 Treffern oder zu den 5 Nietern, und welches, weiß niemand.

Eine Faustregel, die im Kopf bleibt: die Breite hängt an √n. Willst du das Intervall halbieren, brauchst du die vierfache Stichprobe. Von 100 auf 400 Befragte halbiert die Fehlerspanne, von 100 auf 200 bringt nur rund 30 % Verbesserung. Das erklärt auch, warum praktisch alle Meinungsumfragen bei ungefähr 1.000 Befragten landen – darüber wird es teuer, ohne wirklich genauer zu werden.

Zwei Ergänzungen, die in Klausuren regelmäßig den Unterschied zwischen halber und voller Punktzahl machen.

1. Wann z und wann t? Die 1,96 gelten, wenn die Streuung σ der Grundgesamtheit bekannt ist – das kommt praktisch nur in Lehrbüchern vor. Schätzt du die Streuung aus der Stichprobe (also mit s), ist der korrekte Faktor ein t-Quantil mit n − 1 Freiheitsgraden. Das t-Intervall ist etwas breiter, weil du zwei Dinge schätzt statt einem. Ab etwa n = 30 ist der Unterschied klein (t ≈ 2,0 statt 1,96), bei n = 10 ist er deutlich (t ≈ 2,26). Merksatz: σ bekannt → z, σ geschätzt → t. In Aufgabentexten steht das meist versteckt in einem Halbsatz wie „die Varianz der Grundgesamtheit ist bekannt“.

2. Anteilswerte gehen anders. Wenn du keine Skala mittelst, sondern einen Prozentsatz schätzt („62 % würden weiterempfehlen“), lautet der Standardfehler √(p̂(1−p̂)/n). Für p̂ = 0,62 und n = 100: √(0,62 × 0,38 ÷ 100) ≈ 0,0485, Intervall also 62 % ± 9,5 Prozentpunkte. Das ist erschreckend breit – und der Grund, warum man bei 100 Befragten über Unterschiede von drei Prozentpunkten gar nicht diskutieren sollte. Praktische Obergrenze der Fehlerspanne: 1 ÷ √n, weil p̂(1−p̂) bei 50 % maximal wird. Bei n = 100 also nie schlimmer als ±10 Punkte.

Und der Brückenschlag zum nächsten Kapitel, das ihr sicher direkt danach habt: Konfidenzintervall und Hypothesentest sind zwei Seiten derselben Medaille. Liegt ein behaupteter Wert außerhalb des 95-%-Intervalls, verwirfst du ihn im zweiseitigen Test zum Niveau 5 % – und umgekehrt. Wenn dich also jemand fragt, ob sich die Zufriedenheit „signifikant“ von 4,0 unterscheidet: 4,0 liegt am Rand deines Intervalls, also nein, das kannst du mit diesen Daten nicht behaupten.

Für die Klausur selbst noch der Aufgabentyp, der bei uns garantiert dranwar – die Umkehrfrage: „Wie groß muss die Stichprobe sein, damit die Fehlerspanne höchstens e beträgt?“

Du stellst einfach die Formel um. Aus e = z × σ ÷ √n folgt

n ≥ (z × σ ÷ e)²

Mit σ = 1,0, z = 1,96 und gewünschter Genauigkeit e = 0,1: n ≥ (1,96 × 1,0 ÷ 0,1)² = 19,6² ≈ 384. Bei Anteilswerten setzt man im ungünstigsten Fall p̂ = 0,5 ein, dann wird aus derselben Umstellung n ≥ 0,25 × (z ÷ e)². Ergebnis immer aufrunden – halbe Befragte gibt es nicht, und Abrunden verfehlt die Vorgabe.

Zwei Dinge, die mich fast Punkte gekostet haben:

• Einseitig vs. zweiseitig nicht verwechseln. Beim zweiseitigen Intervall liest du das Quantil zu 1 − α/2 ab (also 0,975 → 1,96). Wer 0,95 abliest, landet bei 1,645 und hat systematisch zu enge Intervalle. Beim Ablesen laut mitdenken: „95 % in der Mitte, 2,5 % je Rand.“
• Einheiten und Zwischenschritte hinschreiben. Punktschätzer, Standardfehler, Quantil, Intervall – vier Zeilen. Wenn sich beim Ablesen der Tabelle ein Fehler einschleicht, gibt es für den korrekten Weg trotzdem noch die Mehrheit der Punkte.

Und für das Gespräch mit deiner Chefin würde ich es so formulieren: „Nach dieser Umfrage liegt die Zufriedenheit bei 3,8, mit einer Genauigkeit von etwa ±0,2. Für belastbare Aussagen über kleinere Unterschiede bräuchten wir deutlich mehr Antworten.“ Das ist statistisch korrekt und im Alltag verständlich, ohne die falsche 95-%-Formulierung zu benutzen.