Parallelverschiebung und Schnittpunkte

Paul_II

Hallo zusammen,

hänge ein wenig bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Graphen mit den Funktionen
-1/6x² + 4/3x und -x+4

Die Schnittpunkte der beiden Graphen lauten S1 (13;-9) und S2 (2;2).

Die Gerade -x+4 soll nun parallel verschoben werden, so dass sie an der Stelle xs=7 nur noch einen Punkt mit der Parabel hat. Wie lautet die Funktion f3 dieser Geraden?
Wie funktioniert dieses paralle verschieben, so dass die Gerade an der Stelle xs=7 nur noch einen gemeinsamen Punkt mit der Parabel hat?

Parabel = -1/6x² + 4/3x
Gerade = -x + 4

Wer kann mir weiterhelfen?
Danke und Gruß

Paul_II

Markus

Wann oder besser gesagt wie kannst Du denn erkennen dass zwei Funktionen genau einen Schnittpunkt miteinander haben? Hast Du diesen Ansatz bist Du durch.

Gruß
Markus

Paul_II

Hi,
hab total ein Brett vorm Kopf. Die Schnittpunkte zu berechnen kann ich, indem ich die beiden Funktionen gleichsetze und nach x auflöse. Anschließend den x-Wert in eine der beiden Funktionen einsetzen.

Ich hab mir die beiden Graphen eingezeichnet, komme aber nicht auf die Lösung.
Gib mit bitte noch einen Tipp bzw. Lösungsansatz.
Danke und Gruß
Paul_II

Markus

Nun gut. Mal wieder alles halb so wild.

Es gilt:

[latex]p(x) = -\frac{1}{6}x^{2} + \frac{4}{3}x[/latex]
[latex]g_{1}(x) = -x + 4[/latex]

Die Gerade g₁ soll nun parallelverschoben werden. D.h. nun für uns, die Steigung bleibt gleich aber der Parameter t (t = const.) nimmt einen anderen Wert an. Hieraus folgt nun für g₂:

[latex]g_{2}(x) = -x + t[/latex]

Und weiter:

[latex]p(x) = g_{2}(x)[/latex]
[latex]-\frac{1}{6}x^{2} + \frac{4}{3}x = -x + t[/latex]

Triviale Umformung zum Weiterarbeiten:

[latex]-\frac{1}{6}x^{2} + \frac{7}{3}x - t = 0[/latex]

Es liegt genau ein Schnittpunkt vor, wenn die Diskriminante D gleich null ist. D ist definiert als:

[latex]D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c[/latex]
[latex]D = (\frac{7}{3})^{2} - 4 \cdot -\frac{1}{6} \cdot (-t)[/latex]
[latex]D = \frac{49}{9} - \frac{2}{3}t[/latex]

Wie vorher bestimmt musst die Diskriminante gleich Null sein:

[latex]\Rightarrow D = 0[/latex]
[latex]\frac{49}{9} - \frac{2}{3}t = 0[/latex]
[latex]t = \frac{49}{6}[/latex]

Die Funktion [latex]p(x)[/latex] und [latex]g_{2}(x) = -x + \frac{49}{6}[/latex] besitzen an der Stelle [latex]x_{S} = 7[/latex] genau einen Schnittpunkt.

Alles verstanden?

Gruß
Markus