Parallelverschiebung und Schnittpunkte

Wann oder besser gesagt wie kannst Du denn erkennen dass zwei Funktionen genau einen Schnittpunkt miteinander haben? Hast Du diesen Ansatz bist Du durch.

Gruß
Markus

Nun gut. Mal wieder alles halb so wild.

Es gilt:

[latex]p(x) = -\frac{1}{6}x^{2} + \frac{4}{3}x[/latex]
[latex]g_{1}(x) = -x + 4[/latex]

Die Gerade g₁ soll nun parallelverschoben werden. D.h. nun für uns, die Steigung bleibt gleich aber der Parameter t (t = const.) nimmt einen anderen Wert an. Hieraus folgt nun für g₂:

[latex]g_{2}(x) = -x + t[/latex]

Und weiter:

[latex]p(x) = g_{2}(x)[/latex]
[latex]-\frac{1}{6}x^{2} + \frac{4}{3}x = -x + t[/latex]

Triviale Umformung zum Weiterarbeiten:

[latex]-\frac{1}{6}x^{2} + \frac{7}{3}x - t = 0[/latex]

Es liegt genau ein Schnittpunkt vor, wenn die Diskriminante D gleich null ist. D ist definiert als:

[latex]D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c[/latex]
[latex]D = (\frac{7}{3})^{2} - 4 \cdot -\frac{1}{6} \cdot (-t)[/latex]
[latex]D = \frac{49}{9} - \frac{2}{3}t[/latex]

Wie vorher bestimmt musst die Diskriminante gleich Null sein:

[latex]\Rightarrow D = 0[/latex]
[latex]\frac{49}{9} - \frac{2}{3}t = 0[/latex]
[latex]t = \frac{49}{6}[/latex]

Die Funktion [latex]p(x)[/latex] und [latex]g_{2}(x) = -x + \frac{49}{6}[/latex] besitzen an der Stelle [latex]x_{S} = 7[/latex] genau einen Schnittpunkt.

Alles verstanden?

Gruß
Markus