Funktionen richtig umgeformt?

  • Hallo zusammen,
    kann mir jemand bestätigen, dass ich folgende Funktionen richtig in die Form f= [x = b (x+c)² + a] gebracht habe?


    Aufgabe 1
    4x² - 4x - 3 = 0 | /4
    4 [x² - x - 3/4] | quadratische Ergänzung
    4 [(x² - x + 1²) - 1² - 3/4]
    4 [(x - 1)² - 1 - 3/4 | Distributivgesetz
    4 (x - 1)² + 4 (-1 - 3/4)
    4 (x - 1²) - 7


    S = p (-c;a) S = p (1;-7)



    Aufgabe 2
    3x² - 3x = 3/4 | - 3/4
    3x² - 3x - 3/4 | / 3
    3 [x² - x - 1/4] | quadratische Ergänzung
    3 [(x² - x + 1²) - 1² - 1/4]
    3 (x - 1)² - 1 - 1/4 | Distributivgesetz
    3 (x - 1)² + 3 (-1 - 1/4)
    3 (x - 1)² - 3,75


    S = p (-c;a) S = p (1;-3,75)



    Bin für jede Korrektur dankbar.
    Gruß
    Paul_II

  • Vielleicht findest Du ja auch hier eine Antwort:
  • Du willst quadratisch ergänzen, nicht wahr? Was verstehst du unter S?


    Gruß
    Markus

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  • Hier gibt es mehrere richtgie Lösungen. Ich stelle dir drei potentielle Kandidaten vor. Wenn in der Aufgabe explizit steht, dass du nur den Scheitel bestimmen sollst und kein Verfahren angegeben ist, so wähle Nr.1!


    I.


    [latex]f(x) = ax^{2} + bx + c[/latex]
    [latex]x_{S} = \frac{-b}{2a}, y_{S} = f(x_{S}) \Rightarrow S (x_{S};f(x_{S}))[/latex]


    II.


    [latex]f(x) = ax^{2} + bx + c[/latex]
    [latex]f'(x) = 2ax + b[/latex]
    [latex]f''(x) = 2a[/latex]


    [latex]f'(x_{S}) = 0, f''(x_{S}) < 0 bzw. f''(x_{S}) > 0 \Rightarrow S (x_{S};f(x_{S}))[/latex]


    III.


    Quadratisch ergänzen.


    Gruß
    Markus

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  • Die Formel I stammt aus der Bedingung II wie sich erkennen lässt. Forme die erste Ableitung aus II einmal um und du erhältst den Ausdruck in I! Wenn du I anwendest kannst du erkennen, dass deine Umformungen nicht richtig sein können, da die entsprechenden Scheitel ein anderes Ergebnis vorweisen müssen! Und wie gesagt, musst du nicht zwangsläufig quadratisch ergänzen nimm Formel I, geht schneller und ist sicherer.


    Gruß
    Markus

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  • Hallo Markus,


    danke für die Rückmeldung, werde die Formel verwenden.


    Was anderes, wenn ich nun die Graphen der genannten Funktionen zeichnen möchte, wie gehe ich da am besten vor?


    Nehme ich die Funktionen und erstelle ich einfach eine Wertetabelle oder forme ich sie in die Form f= b (x + c)² + a um?
    Wie lauten die Funktionen wenn ich sie umforme? Meine ersten Versuche scheinen ja nicht zu stimmen. Die Scheitelpunkte sind nicht identisch.


    Danke und Gruß
    Paul_II

  • Hallo zusammen,


    irgendwie steckt bei mir der Wurm drin.
    Ich komme auf kein einheitliches Ergebnis.


    Wenn ich die Funktionen nach b (x+c)² + a umstelle, erhalte ich folgendes:


    1. 4x² - 4x - 3 wird zu 4(x-2)² -7
    Die Scheitelpunkte demnach S = p (-c; a) also S = 2; -7


    2. 3x² - 3x = 0,75 | - 0,75
    3x² - 3x - 0,75 wird zu 3(x-1,5)² - 3
    Die Scheitelpunkte demnach S = p (-c; a) also S = 1,5; -3



    Wenn ich nun aber die Formeln von Markus verwende, Xs = - b/2a und
    Ys = 4ac-b² / 4a, komme ich auf andere zahlen:


    Zu1 4x² - 4x -3
    Xs = - -4/8 = 0,5 Ys = 4 * 4 * -3 - (-4)² / 16 = -4


    Zu 2 3x² - 3x - 0,75
    Xs = - -3/6 = 0,5 Ys = 4 * 3 *(-0,75) - (-3)² / 12 = -1,5



    Was mache ich falsch?
    Ich soll die angegebenen Funktionen graphisch und rechnerisch (G = IR) lösen. Dazu den Scheitelpunkt angeben,
    Wie gehe ich am einfachsten vor?
    Bitte helft mir.
    Danke und Gruß
    Paul_II