Komplexe Zahlen

Hallo Korra,

gerne helfe ich dir mit deiner Aufgabe zu den komplexen Zahlen! Wir wollen die Gleichung z³ = 125 lösen.

Zunächst stellen wir die Zahl 125 in ihrer komplexen Form dar. Da 125 eine reelle Zahl ist, können wir sie als 125 + 0i schreiben. In polarer Form ist 125 einfach 125 = 125 (cos(0) + i sin(0)), weil der Winkel (Argument) für reelle Zahlen auf der positiven x-Achse 0 ist.

Um die drei Lösungen zu finden, verwenden wir die Formel für die n-te Wurzel einer komplexen Zahl:

z_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))

In deinem Fall ist r = 125, n = 3 und θ = 0.

1. Berechne die n-te Wurzel des Betrags: r^(1/3) = 125^(1/3) = 5.
2. Berechne die Lösungen für k = 0, 1, 2:

• Für k = 0:
  z₀ = 5 (cos(0/3) + i sin(0/3)) = 5 (cos(0) + i sin(0)) = 5 + 0i = 5
• Für k = 1:
  z₁ = 5 (cos((0 + 2π)/3) + i sin((0 + 2π)/3)) = 5 (cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = 5 (-1/2 + i√3/2) = -2.5 + 2.5i√3
• Für k = 2:
  z₂ = 5 (cos((0 + 4π)/3) + i sin((0 + 4π)/3)) = 5 (cos(4π/3) + i sin(4π/3)) = 5 (-1/2 - i√3/2) = -2.5 - 2.5i√3

Zusammengefasst sind die drei Lösungen:

• z₀ =