mikroökonomie - kostenminimierung

  • Hallo,


    ich muss für die Uni eine an sich einfache Aufgabe lösen, nur ich verstehe VWL nicht wirklich und daher frage ich hier um Rat. Es handelt sich dabei um folgende Aufgabe:


    ich habe eine Produktionsfunktion gegeben, als auch lohnsatz für arbeit und kosten für kapital. In der Angabe sind auch die anzahl der outputeinheiten gegeben. Ich muss mir jetzt den optimalen einsatz von arbeit und kapital berechnen um die kosten zu minimieren.


    Mein bisheriger ansatz ist jener, dass ich:
    die outputeinheiten = produktionsfunktion setzte,


    dann:
    delta kapital / delta arbeit = -Kosten für Arbeit/Kosten für Kapital


    dann:
    habe ich das Grenzprodukt nach Kapital und das Grenzprodukt nach Arbeit ausgerechnet. (dazu habe ich eine Frage, das Grenzprodukt Kapital, ist das jenes, in welchem ich Kapital als Variable lasse und mir die Arbeit als Konstante denke?)


    dann:
    setze ich meine GrenzproduktKapital für delta kapital und mein GrenzproduktArbeit für delta arbeit ein und setze es gleich -Kosten für Arbeit/Kosten für Kapital.


    dann:
    drücke ich mir hier das Kapital aus und setze dann in meine Produktionsfunktion ein und rechne den Wert für Kapital aus


    Jetzt meine Fragen, also stimmt das so? Falls ja, warum ist das so?


    Ich habe da wirklich wenig Ahnung davon und wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte, dieses beispiel zu verstehen,


    danke, lg

  • Vielleicht findest Du ja auch hier eine Antwort:
  • Hi narzisse,


    koennte fast stimmen, letztendlich kommt bei so einer Aufgabe als Ergebnis stets raus, dass das Verhaeltnis der Grenzproduktivitaeten gleich dem Verhaeltnis der Faktorpreise ist.


    Vorgehensweise:


    Minimierung der Kostenfunktion (die so aussieht: K = p(A)*A + p(K)*K)
    unter der Nebenbedingung, dass die Produktionsfunktion gilt (duerfte wahrscheinlich ungefaehr so aussehen: P = Zahl * A^irgendwas * K^irgendwas)


    Jetzt kann man entweder die Produktionsfunktion in die Kostenfunktion einsetzen und aufloesen, oder (einfacher) nen Lagrange Ansatz bilden und gleich partiell nach A und K ableiten.


    Dann kommt man nach aufloesen irgendwann zu obigem Ergebnis (Verhaeltnis der Grenzproduktivitaeten = Verhaeltnis der Faktorpreise). Das kann man dann, wie du schon richtig bemerkt hast, in die Funktion einsetzen und die Werte berechnen.


    Konkreter kann ich's leider nicht erklaeren ohne konkrete Angaben.


    Zu deinen Fragen:


    - "...das Grenzprodukt Kapital, ist das jenes, in welchem ich Kapital als Variable lasse und mir die Arbeit als Konstante denke?"


    Genau. Misst also, um vieviel sich der Output aendert, wenn man einen Faktor marginal aendert und alles andere konstant haelt. Mathematisch die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach einem Faktor. Eigentlich handelt es sich hier um die Grenzproduktivitaet, nicht das Grenzprodukt, weil es hier um Outputveraenderungen geht, nicht um Ertragsveraenderungen. Bei konstanten Preisen spielt das aber keine Rolle.


    - "Jetzt meine Fragen, also stimmt das so? Falls ja, warum ist das so?"


    Eine Produktionsfunktion laesst viele verschiedene Kombinationen zu, einen bestimmten Output zu erreichen, allerdings gibt es immer nur eine Kombination, die die Kosten minimiert. Diese ist dann erreicht, wenn die letzte eingesetzte Menge eines Faktors (im Verhaeltnis) genau das bringt, was sie kostet. Anders formuliert, ausgehend vom kostenminimalen Gleichgewicht: Wenn du beispielsweise Arbeit durch Kapital ersetzen willst, um die gleiche Menge zu erreichen, nimmst du eine bestimmte Menge Arbeit raus und ersetzt sie durch eine bestimmte Kapital. Geht, ist aber ausgehend vom Gleichgewicht teurer. Man tauscht also quasi die Faktoren so lange aus, bis das kostenminimale Verhaeltnis gefunden ist.


    Gruss, Granti


    Nachtrag: Grundsaetzlich empfiehlt es sich in der VWL, nicht einfach nach Schema x zu rechnen (obwohl das meistens funktioniert), sondern darueber bescheid zu wissen, warum man das genau so macht und unter welchen Bedingungen das geht, sonst kommt man bei Aufgaben, die das Schema x verlassen, schnell ins Schleudern. Logisch ist das alles ganz und gar nicht, es ist alles 'zurechtdefiniert', sozusagen.

  • hallo granti,


    vielen dank schonmal!!


    Das hier die zugehörige Aufgabe:
    Produktionsfkt: q=10*K^0,5*L^0,5


    Lohn für eine Arbeitsstunde = 20,
    Kosten pro Einheit Kapital = 80


    Ziel d. Unternehmen = 140 Outputeinh.


    Optimale einsatz von kapital u arbeit, bei Kostenminimierung?


    Ich habe das jetzt versucht so zu lösen:


    5*K^-0,5aaaaa -20
    -------------- = -------
    0,5*L^-0,5 aaaa 80



    aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(aaaa1aaaaa )^2
    daraus drücke ich mir dann L aus, also L= (--------------)
    aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa( -40*K^-0,5)


    dieses setze ich dann wiederum in die Produktionsfunktion ein: 140=10K^0,5L^0,5


    und dann würde ich mir daraus erst K und dann L aus dieser Gleichung ausrechnen, nur glaube ich fast dass ich da irgendeinen Fehler drinnen habe, weil mir die Formel für das L fast zu kompliziert ist.


    Mit dem Beispiel ist es vielleicht etwas einfacher erklärt was ich bis jetzt gemacht habe, bzw. was mein ansatz war/ist.


    lg

  • Hi,


    ich rechne das hier mal mit dem Lagrange Ansatz aus:


    Kostenfunktion lautet: 20 * L + 80 * K = Gesamtkosten


    Die zu minimierende Funktion lautet (minimiere die Kostenfunktion unter der Nebenbedingung, dass die Produktionsfunktion gilt):


    F = 20L + 80K - z * (10*K^0.5*L^0.5 - 140) || z ist eine Variable in diesem Loesungsansatz, die aber fuer die Loesung (hier) keine Rolle spielt


    Das Ding wird jetzt partiell nach K, L (und z, hab ich mir gespart) abgeleitet und die Ableitungen = 0 gesetzt:


    dF/dK = 80 - 0.5 * z * 10 * L^0.5/K^0.5 = 0 || Ableitung nach K^0.5 ist 0.5 * K^-0.5, oder 0.5 * 1/K^0.5
    dF/dL = 20 - 0.5 * z * 10 * K^0.5/L^0.5 = 0



    Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich nach Vereinfachung folgendes (Gleichungen dividieren, alles rechts vom Minus auf die andere Seite, kuerzen):


    80/20 = L/K


    oder


    L = 4 * K


    Das Ergebnis ist schon mal intuitiv richtig: Aus der Produktionsfunktion ergibt sich, dass die Grenzproduktivitaeten von K und L gleich sind. Wenn eine Einheit K nun viermal so viel kostet wie eine Einheit L, dann werden im Optimum 4mal so viele Einheiten and L eingesetzt wie Einheiten an K.


    Das kannst du jetzt in die Produktionsfunktion einsetzen:


    140 = 10*K^0,5*(4*K)^0,5
    140 = 10*K^0,5*2*K^0,5*
    140= 20*K
    =>K=7


    Gemaess der Gleichung


    L = 4 * K


    ist L = 28



    Berechnungen ohne Gewaehr, kann sein, dass ich mich irgendwo verwurstelt habe.


    Gruesse,
    granti

    4 Mal editiert, zuletzt von granti () aus folgendem Grund: Korrigiert, typischer granti-Fehler am Ende: 140/20=7, nicht 70