Konvexität von Indifferenzkurven beweisen

  • Kann mir jemand eventell einen Denkanstoß geben wie man die (strenge) Konvexität der Indifferenzkurven beweisen kann?


    Ich weiß schon, dass sie in der Abnahme der Grenzrate der Subsitution begründet ist, aber gibt es einen mathematischen Ansatz dazu? Ich hab auch das Gossensche Gesetz dazu gelesen, was aber im Grunde dann auch nur wieder Behauptungen sind.


    In einer Vorlesung hörte ich die Begründung, dass sie nicht linear sein könnten, da Punktmengen nicht konkav sein können, und eigentlich Indifferenzkurven in Realität Indifferenzmengen seien, was ich jedoch nicht nachvollziehen kann...

  • also generell kann man die konvexität von funktionen dadurch beweisen, dass man zwei Punkte a und b der Funktion nimmt und daraus eine gerade bildet. alle punkte der geraden an einer stelle c, die zwischen a und b liegt, müssen nun einen höheren funktionswert haben als deine zu untersuchende funktion, formal sieht das dann so aus:
    u(ß*a+(1-ß)*b) < ßu(a)+(1-ß)u(b)
    ß ist ein konstanter vorfaktor und 0<ß<1
    das gild nur für strenge monotinität, für einfache monotitität ersetzt du das größerzeichen durch ein größergleichzeichen.
    hoffe das waren nicht schon zu viele hinweise^^

  • Hi Minimalist,


    du hast doch sicher irgendeine Nutzenfunktion zur Hand? Ohne konkrete Funktion laesst sich natuerlich nicht die Form der Funktion beweisen.


    Die ganze Sache ist eine Definitionsgeschichte: Man verwendet Nutzenfunktionen, die die Realität so gut wie möglich beschreiben sollen, ohne zu kompliziert zu werden.


    Man nimmt an, dass bei Guetertausch ein Saettigungseffekt eintritt (abnehmende GRS), ein 'Mehr ohne Verzicht' aber immer bevorzugt wird (hoehere Indifferenzkurve). Resultat: CES-Produktionsfunktion (Cobb-Douglas z.B., oder Leontieff). Daher kommen die konvexen Indifferenzkurven.


    Wenn du die Funktion hast (wenn nicht, denkt dir mit obiger Begruendung die Cobb Douglas Funktion aus), ist der mathematische Beweis einfach:


    Nutzenniveau konstant halten, und dann Variable 1 nach Variable 2 ableiten (oder andersrum); die 2. Ableitung gibt dir die Kruemmung der Indifferenzurve, unabhaengig vom Wert der Nutzenfunktion.


    Wenn der Wert positiv oder 0 ist, hast du die (strenge) Konvexitaet bewiesen.


    Grantiger Gruss